Wie kann ich die DGL mit der Ansatzmethode lösen?

Question

Aufgabe:

AWP mit Ansatzmethode

Lösen sie das AWP y´=y+f(x), y(0)=1 mithilfe der Ansatzmethode für

a) f(x)=2sin(x)+x


wie kann ich die GDL mit der Ansatzmethode lösen? Danke

Problem/Ansatz:

ich würde zuerst lamda bestimmen

e^lamdax

bestimmung einer ansatzfunktion für die störfunktion 2sinx??

dann die allgemeine lösung aufstellen

Answer 1

Hallo,

a)  y´=y+2sin(x)+x

y' -y= 2sin(x) +x

-> homog.DGL lösen

Charakt. Gleichung: k-1=0: k=1

->y_h= C₁ e^x

--------->keine Resonanz

Der Ansatz für die part. Lösung ist summandweise zu bilden

2 sin(x):  A sin(x) +B cos(x)

       x:   C +Dx

->yp=yp1+yp2

yp=A sin(x) +B cos(x) +C +Dx

yp' =

dann yp und yp' in die DGL einsetzen

usw.

Comments

also muss ich noch yp nach x ableiten?

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ja.......................

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habe für yp´cosx+sinx +D richtig?

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yp'= A cos(x) -B sin(x) +D

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eingesetzt ergibt:

yp´= 2sin(yp)+x

ich glaube habe falsch eingesetzt

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y' -y= 2sin(x) +x

yp=A sin(x) +B cos(x) +C +Dx

yp'= A cos(x) -B sin(x) +D

Du mußt für y' --->yp' und für y ---->yp einsetzen und dann einen Koeffizientenvergleich tätigen:

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also:

yp´-yp=2sinx+x???

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nein

y' -y= 2sin(x) +x

A cos(x) -B sin(x) +D -(A sin(x) +B cos(x) +C +Dx)= 2sin(x) +x

A cos(x) -B sin(x) +D -A sin(x) -B cos(x) -C -Dx= 2sin(x) +x

->

Koeffizientenvergleich:

cos(x)  :A-B= 0

sin(x)  :-A-B= 2

   x^1: -D= 1

   x^0: D-C= 0

----->

A=B=C=D= -1

->

y_p= -sin(x) -cos(x) -1-x

y=yh+yp

y=C₁ e^x -sin(x) -cos(x) -1-x

------>

Einsetzen der AWB: y(0)=1

->C1=3

-->

Lösung: 3 e^x -sin(x) -cos(x) -1-x

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du hast 0 in c1*e^x-sinx-cosx-1-x eingesetzt? um das c zu berechnen?

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Ich habe eingesetzt:

x=0

y=1

in die Lösung

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habe ich auch

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habe für c1=1 heraus habe ich nochmals berechnet!

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y=C1 e^x -sin(x) -cos(x) -1-x

y(0)=1

1=C1  -0 -1  -1-0

1=C1 -2

C1=3