Aloha :)
Weil Zähler und Nenner für \(x\to0\) beide unabhängig voneinander gegen \(0\) konvergieren, kannst du hier die Allzweckwaffe L'Hospital anwenden. Daher leiten wir Zähler und Nenner unabhängig voneinander ab:$$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^3\cdot e^x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x^2\cdot e^x+x^3\cdot e^x}{1}=\frac{0+0}{1}=0$$
Du könntest den Bruch natürlich auch einfach kürzen:$$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^3\cdot e^x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\left(x^2\cdot e^x\right)=0\cdot1=0$$
Die Grenzwerte für \(x\to\pm\infty\) kannst du sofort angeben:$$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{x^3\cdot e^x}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2\cdot e^x)=0\quad;\quad\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3\cdot e^x}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}(x^2\cdot e^x)\to\infty$$
~plot~ x^3*e^x/x ; {0|0} ; [[-5|2|0|3]] ~plot~
