Aufgabe:
Die Aufgabenstellung lautet: Bestimme die Lösung der Anfangswertprobleme!
A) \( z^{\prime}(t)=(z(t)+1) \sin (t), z\left(\frac{\pi}{2}\right)=2 \)
Problem/Ansatz:
Hallo alle!
Ich stecke bei einer Aufgabe fest, komme leider nicht weiter. Ich habe zwar einen Ansatz, aber der hilft mir auch nicht weiter. Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
Mein Ansatz :
\( \frac{z^{\prime}(t)}{z(t)+1}=\sin (t) \)
Substitution: \( z(t)+1=z \quad \) grenzen: \( z(t)+1 \Rightarrow \) obere \( Grenze. \) \( z^{\prime}(t) d t=d z \quad z\left(\frac{\pi}{2}\right)+1=3 \Rightarrow \) untere \( Grenze \).
\( \begin{array}{l} \int \frac{z^{\prime}(t)}{z^{\prime}(t)+1} d t=\int \limits_{3}^{z(t)+1} \frac{1}{z} d z=\left.\ln |z|\right|_{3} ^{z(t)+1}=\ln |z(t)+1|-\ln |3|=\ln |z(t)+1|+\ln \left|\frac{1}{3}\right| \\ \int \sin (x) d t=-\left.\cos (x)\right|_{2} ^{t}=-\ln \left|\frac{z(t)+1}{3}\right| \end{array} \)
q) \( \left(x^{2}+1\right) y^{\prime}(x)=x y(x), y(0)=1 \)
\( \begin{array}{l} \frac{y^{\prime}(x)}{y(x)}=\frac{x^{2}+1}{x} \\ \int \frac{y^{\prime}(x)}{y(x)} d x=\int \frac{x^{2}+1}{x} d x \end{array} \)
Grenzen :
Substitution: \( y(x)=z \quad \) Grenzen: \( y(x) \rightarrow \) obere \( g \).
\( y^{\prime}(x) d x=d z \quad y(0)=1 \rightarrow \text { untere } g . \)
\( \int \limits_{y(0)=1}^{y(x)} \frac{1}{z} d z=\left.\ln |z|\right|_{1} ^{y(x)}=\ln |y(x)|-\underbrace{\ln |1|}_{=0}=\ln |y(x)| \)
\( \begin{array}{c} \int \limits_{0}^{x} \frac{t^{2}+1}{t} d t=\int \limits_{0}^{x} t+\frac{1}{t} d t=\frac{t^{0}}{2}+\left.\ln |t|\right|_{0} ^{x}=\frac{x^{2}}{2}+\ln |x| \\ \Longrightarrow \ln |y(x)|=\frac{x^{2}}{2}+\ln |x| \end{array} \)
