Eigenvektoren: Wie kann man anhand der gegebenen Grafik nun erkennen, dass es sich um einen Eigenvektor handelt?

Question

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1. Klausur Aufgabe 6: Wie kann man denn sehen ob v1 ein Eigenvektor ist?
Montag, 18. Juli \( 2022 \quad 20: 14 \)
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 7 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right) \in \mathrm{M}_{3}(\mathbb{R}) \)
(b) Zeigen Sie, dass der Vektor \( x=(-1,2,1)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \) ein Eigenvektor von \( A \) ist und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert.
(b) Ist \( \lambda \) ein Eigenwert zu \( A \) mit Eigenvektor \( x \), so gilt \( A x=\lambda x \). Wir rechnen nach
\( A x=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 7 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -7 \\ 14 \\ 7 \end{array}\right)=7\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)=\lambda x \)
Zum Eigenvektor \( (-1,2,1)^{T} \) gehört also der Eigenwert \( \lambda=7 \).

Answer 1

Um welche Aufgabe geht es dir den konkret? Und wo liegen genau deine Probleme?

Comments

Hi bei dem Bild handelt es sich um einmal die Aufgabe und dann die Musterlösung vom Dozenten.

(b) Zeigen Sie, dass der Vektor \( x=(-1,2,1)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \) ein Eigenvektor von \( A \) ist und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert.

ist die Aufgabe

alles danach ist die Musterlösung.

Hier sehe ich nur wie der Eigenwert ermittelt wurde aber nicht warum das nun ein Eigenvektor sein soll

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Wenn die Matrix mit einem Eigenvektor multipliziert wird kommt ein vielfaches des Eigenvektors heraus. Weil du siehst das genau das 7-fache des Vektors heraus kommt ist der Vektor ein Eigenvektor und 7 der zugehörige Eigenwert.

Die Bedingung ist wie angegeben

A·x = λ·x

mit x als Eigenvektor und λ als Eigenwert.

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Vielen lieben Dank diese Frage kann nun als für beantwortet angesehen werden