Richtungsableitung der Funktion f berechnen?

Question

f(x,y,z)= xyz+3xz^3

Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion f in Richtung des Vektors v=(1,2,-2)^T

Problem/Ansatz:

=(yz+3z^3 , xz , xy+9xz^2)*(1,2,-2)^T

Das ist der Ansatz, aber leider komme ich nicht mehr weiter.. Als Lösung soll -34/3 rauskommen.

Ich bedanke mich für jede Antwort! :)

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung der Richtungsableitung von$$f(x;y;z)=xyz+3xz^3$$in Richtung des Vektors$$\vec v=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$$musst du den Gradienten von \(f\) auf den Einheitsvektor von \(\vec v\) projezieren:

$$D_{\vec v}(f)=\operatorname{grad}f\cdot\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\begin{pmatrix}yz+3z^3\\xz\\xy+9xz^2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{9}}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$$$$\phantom{D_{\vec v}(f)}=\frac13\left(yz+3z^3+2xz-2xy-18xz^2\right)$$

Um jetzt auf die Lösung \((-\frac{34}{3})\) zu kommen, musst du diese Richtungsableitung an einem bestimmten Punkt auswerten. Den Punkt hast du aber nicht mit angegeben...

Answer 2

Hello :)

Also ich bin mir nicht sicher, ob du dir Definition der Richtungsableitung richtig verstanden hast. Per Definition müsstest du f((x, y, z) +t*(1,2-2))-f(x,y,z) und das ganze geteilt durch t bilden.

Schau dann mal, was du zusammenfassen kannst und kürzen kannst und bilde dann den Grenzwert.

Liebe Grüße

Comments

Der Ansatz ist schon richtig:

Skalarprodukt aus Gradient und Richtung

Wenn das Ergebnis allerdings eine Zshl sein soll, müsste ein Punkt gegeben sein  in dem die Richtungsableitung bestimmt werden soll

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Ahh ok, dann kannte ich wohl nicht die Vorgehensweise oder es ist zu lange her :)