Beweis zu Vektorräumen, lineare Unabhängigkeit

Question

Text erkannt:

Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( n \geq 2 \) eine ganze Zahl. Es seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear abhängige Vektoren derart, dass je \( n-1 \) dieser Vektoren linear unabhängig sind.
(a) Zeigen Sie, dass es \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \backslash\{0\} \) gibt, so dass \( \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \) ist.
(b) Seien \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) wie in (a) gewählt und \( b_{1}, \ldots, b_{n} \in K \) gegeben mit \( \sum \limits_{i=1}^{n} b_{i} v_{i}=0 \). Zeigen Sie, dass es dann ein \( c \in K \) gibt so dass \( b_{i}=c a_{i} \) für alle \( i=1, \ldots, n \).

Hallo an alle,

Ich bin leider aktuell noch total überfordert mit Beweisaufgaben und weiß absolut nicht wie ich da rangehen kann. Wir schreiben demnächst eine Klausur in der auch eine Beweisaufgabe drankommt und ich möchte wenigstens ein bisschen davon verstehen. Kann mir vielleicht jemand helfen?

Answer 1

dass es \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \backslash\{0\} \) gibt, so dass \( \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \) ist.

Das sieht sehr nach der Definition von linearer Abhängigkeit aus.

Ist es aber nicht. Finde heraus, wo der Unterschied ist. Finde insbesondere ein Beispiel in dem

        \(\exists a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \backslash\{0\} :\ \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \)

nicht gilt, aber die Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n}\) trozdem linear abhängig sind.

Es seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear abhängige Vektoren derart, dass je \( n-1 \) dieser Vektoren linear unabhängig sind.

Hier wird ja nich nur gefordert, dass die \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) linear abhängig sind. Es wird auch noch zusätzlich etwas gefordert.

Finde ein Beispiel in dem die \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) linear abhängig sind und die zusätzliche Forderung erfüllt ist.

Wenn du damit fertig bist, dann hast du die Aufgabenstellung verstanden und kannst dich an die Lösung machen. Versuche dazu, die Erkenntnisse, die du aus den Beispielen gewonnen hast, zu verallgemeinern.

Comments

Das sieht sehr nach der Definition von linearer Abhängigkeit aus.Ist es aber nicht. Finde heraus, wo der Unterschied ist. Finde insbesondere ein Beispiel in dem        \(\exists a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \backslash\{0\} :\ \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \)nicht gilt, aber die Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n}\) trozdem linear abhängig sind.

Der Unterschied wäre doch, dass die a_i keine Koeffizienten sind, sondern Vektoren, oder?

Text erkannt:

da \( v_{11-,} v_{n} \) liu. abh. muss \( \vec{v}_{n}=k \cdot \vec{v}_{1} \) wobei \( k \in \mathbb{R} \)
sei also \( \quad \vec{v}_{A}=\left(\begin{array}{c}x \\ 0 \\ z\end{array}\right) \), doun gill \( \vec{v}_{n}=k_{n}\left(\begin{array}{l}x \\ 0 \\ z\end{array}\right) \)
analog gilt \( \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \quad \) mit \( \quad \vec{v}_{n}=k_{n}\left(\begin{array}{l}0 \\ y \\ 0\end{array}\right) \)
und \( \vec{a}_{n}=\left(\begin{array}{c}x_{n} \\ 0 \\ z_{k}\end{array}\right) \)

Ich bin mir nicht sicher ob das allgemein genug ist. Aber so wie ich es jetzt gemacht habe, würde sich hier eine Fallunterscheidung anbieten? Theoretisch würde es noch zwei weitere Fälle geben, die alle analog gegen würden.

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Ich berichtige: 3 Fälle

Und für die zusätzliche Forderung würde ich sagen, dass v₀=0

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dass die a_i keine Koeffizienten sind, sondern Vektoren

Die \(a_i\) sind Koeffizienten aus dem gleichen Körper wie bei der Definition der linearen Abhängigkeit. Das erkennt man an

        \(a_{1}, \ldots, a_{n} \in K\setminus \{0\}\).

Und wenn es Vektoren wären, was sollte dann \(a_iv_i\) bedeuten? Im allgemeinen kann man Vektoren nicht miteinander multiplizieren.

Hier wird ja nich nur gefordert, dass die \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) linear abhängig sind

Die zusätzliche Forderung steht direkt nach "Es seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear abhängige Vektoren", nämlich dass je \( n-1 \) dieser Vektoren linear unabhängig sind.

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da \( v_{11-,} v_{n} \) liu. abh. muss \( \vec{v}_{n}=k \cdot \vec{v}_{1} \)

Nein. Bei

        \(v_1 = \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\), \(v_2 = \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)\), \(v_3 = \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\), \(v_4 = \left(\begin{smallmatrix}2\\-3\\4\end{smallmatrix}\right)\)

ist \(\left\{v_1,v_2,v_3,v_4\right\}\) linear abhängig ohne dass \( \vec{v}_{n}=k \cdot \vec{v}_{1} \) ist.

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Okay noch mal von vorne.

Beispiel in dem        \(\exists a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \backslash\{0\} :\ \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \)nicht gilt, aber die Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n}\) trozdem linear abhängig sind.

z.B. v₁= (3,6,9) v₂= (1,2,3) v₃=(1,0,0) und v₄= (0,1,0) . Die sind linear abhängig, aber \(\exists a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \backslash\{0\} :\ \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \) gilt nicht, da a₃=a₄= 0 und 0 ist nicht in K.

Finde ein Beispiel in dem die \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) linear abhängig sind und die zusätzliche Forderung erfüllt ist.

Wenn v₁ jetzt wegfällt dann wären die übrigen v_n linear unabhängig...

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z.B. v₁= (3,6,9) v₂= (1,2,3) v₃=(1,0,0) und v₄= (0,1,0) .

Richtg, dann gilt

        \(\exists a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \backslash\{0\} :\ \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \)

nicht.

und 0 ist nicht in K.

Es ist \(0\in K\). Aber \(0\notin K\setminus \{0\}\) und darauf kommt es ja an.

Wenn v₁ jetzt wegfällt dann wären die übrigen vn linear unabhängig...

"Je \(n-1\) dieser Vektoren" bedeutet aber, das egal ist welcher Vektor wegfällt. Und wenn stattdessen \(v_3\) wegfällt, dann sind die übrigen Vektoren immer noch linear abhängig.

Dein Beispiel erfüllt somit die Voraussetzungen "Es seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear abhängige Vektoren derart, dass je \( n-1 \) dieser Vektoren linear unabhängig sind." nicht.

Das könnte man als Anlass für einen Beweis durch Kontraposition nehmen.

• \(A\): Die Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) sind linear abhängig und je \( n-1 \) dieser Vektoren sind linear unabhängig.
• \(B\): \(\exists a_{1}, \ldots, a_{n} \in K \backslash\{0\} :\ \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}=0 \)

Zu zeigen ist ja \(A\implies B\). Die Kontraposition davon ist \(\neg B \implies \neg A\). Weil jede Implikation äquivalent zu ihrer Kontraposition ist, genügt es, \(\neg B \implies \neg A\) zu zeigen.

Stelle dir dazu die Frage, warum in dem von dir gewählten Beispiel \(a_3 = 0\) sein muss.