Wie stellt man den Lagrange allein auf eine Seite um?

Question

Aufgabe:

\( \frac{2}{5} \sqrt{W_{L}}+\frac{1}{5} \lambda=-\frac{12}{5} \sqrt{W_{H}}-\frac{5}{6} \lambda \)

\( \rightarrow \lambda=-\frac{12}{7} \sqrt{W_{H}}-\frac{2}{7} \sqrt{W_{L}} \)

Problem/Ansatz:

Wie stellt man Lagrange allein auf eine Seite um ?

Answer 1

Aloha :)

Das Ergebnis für \(\lambda\) passt nicht zu der ersten Gleichung.$$\frac25\sqrt{W_L}+\frac15\lambda=-\frac{12}{5}\sqrt{W_H}-\frac56\lambda\quad\bigg|+\frac56\lambda$$$$\frac25\sqrt{W_L}+\frac15\lambda+\frac56\lambda=-\frac{12}{5}\sqrt{W_H}\quad\bigg|-\frac25\sqrt{W_L}$$$$\frac15\lambda+\frac56\lambda=-\frac{12}{5}\sqrt{W_H}-\frac25\sqrt{W_L}\quad\bigg|\text{links \(\lambda\) ausklammern}$$$$\left(\frac15+\frac56\right)\,\lambda=-\frac{12}{5}\sqrt{W_H}-\frac25\sqrt{W_L}\quad\bigg|\text{Hauptnenner links ist \(30\)}$$$$\left(\frac{6}{30}+\frac{25}{30}\right)\,\lambda=-\frac{12}{5}\sqrt{W_H}-\frac25\sqrt{W_L}\quad\bigg|\text{Brüche links addieren}$$$$\frac{31}{30}\,\lambda=-\frac{12}{5}\sqrt{W_H}-\frac25\sqrt{W_L}\quad\bigg|\cdot\frac{30}{31}$$$$\lambda=-\frac{12\cdot30}{5\cdot31}\sqrt{W_H}-\frac{2\cdot30}{5\cdot31}\sqrt{W_L}\quad\bigg|\text{rechts vereinfachen}$$$$\lambda=-\frac{72}{31}\sqrt{W_H}-\frac{12}{31}\sqrt{W_L}$$

Comments

Danke dir,

So habe ich es auch gelöst - allerdings wurde mir gesagt, dass man den Kehrwert von 5/6 bilden soll, also zu 6/5. Wenn man es so macht, kommt man allerdings auf dieselbe Lösung wie im Screenshot oben.

Wäre es aber mathematisch erlaubt, den Kehrwert zu bilden und dann zu addieren?

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Du musst bei einer Gleichung immer auf beiden Seiten dasselbe machen, damit das Gleichgewicht bestehn bleibt. Wenn du rechts den Kehrwert bildest, musst du ihn auch links bilden. Wenn du rechts etwas addierst, musst du es auch links addieren.

Ich wüsste jetzt nicht, wie eine Kehrwertbildung hier hilfreich sein könnte. \(\lambda\) kommt ja gar nicht in irgendeinem Nenner vor.

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evtl. ist gemeint die gleichung mit 6/5 zu multiplizieren und dann zusammenfassen?

Answer 2

@ Calito

Die Musterrechnung ist schon richtig. Du hast nur die Ausgangsgleichung verkehrt notiert. Du hast 5/6 statt 6/5 notiert. Vielleicht war dem Dozenten dieses Missgeschick aber auch an der Tafel passiert. Allerdings hätte das dann einem Studenten auffallen sollen beim nachrechnen.

2/5·√(w·l) + 1/5·λ = - 12/5·√(w·h) - 6/5·λ --> λ = - 12/7·√(h·w) - 2/7·√(l·w)