Sei r eine Primitivwurzel mod m. Ist dann r^r auch eine Primitivwurzel mod m?

Question

Aufgabe:

Sei r eine Primitivwurzel mod m. Ist dann r^r auch eine Primitivwurzel mod m?

Problem/Ansatz:

Ich habs ausprobiert für mod 25. Da ist 2 eine Primitivwurzel, aber 2²=4 nicht mod 25. 3 Ist auch eine, da funktioniert es, denn 3³=27≡2 mod 25.

Meine Vermutung ist also, dass es für alle Primitivwurzel größer als 2 gilt, für kleinere allerdings nicht. Ich weiß jetzt nicht, ob dies wirklich so ist und falls es so ist, wie ich begründen kann.

Comments

Eine primitivwurzel r mod m hat immer Ordnung φ(m) (Eulersche phi-Funktion)

Jetzt hat das Element \( r^k \) gerade Ordnung φ(m) / ggT(k,φ(m))

Um wieder eine PW zu erhalten muss demnach ggT(k,φ(m))=1 sein.

3 ist zb eine PW mod 7, aber 3^3 = 27 = 6 mod 7 ist keine PW mod 7 denn

6 hat Ordnung 2 und ist somit ganz sicher kein Erzeuger der Einheitengruppe mod 7

Es ist φ(7)=6 und ggT(3,6)=3>1

Answer 1

Du hast doch selber schon ein Gegenbeispiel angegeben.

Also lautet die Antwort aus die Frage:

Ist dann r^r auch eine Primitivwurzel mod m?

NEIN !