Gewöhnliche DGL lösen, vektorwertig

Question

Aufgabe:
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

\( \left(\begin{array}{l}\dot{x}_{1}(t) \\ \dot{x}_{2}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1}(t) \\ x_{2}(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) . \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand hier das genaue Vorgehen zeigen bzw. erklären? Dass es hier eine vektorwertige DGL ist verwirrt mich etwas und ich habe auch keine Beispiele gefunden an denen ich mich langhangeln könnte (vlt kennt einer von euch auch ein gutes Video o.Ä. dazu).

Answer 1

Hallo,

Es handelt sich hier um ein DGL system.

1. Eigenwerte: det( A - λE) = 0

2. Eigenvektoren oder Weg über x₂= (1/a₁₂) (x₁' -a₁₁ x₁), steht im " Papula" wenn behandelt

3.Ansatz partikuläre Lösung: hier

x₁=A

x₂=B

x₁'=0

x₂'=0

4. Einsetzen in die Aufgabe (DGL system)

5.Lösung des Gleichungssystems

6.x=x_h+x_p

Comments

Super danke dir
Kannst du mir vlt noch hierbei helfen: Wie gehe ich bei der partikulären Lösung vor wenn wir keine konstante Inhomogenität haben? Da habe ich eigentlich meine Unsicherheiten (ich hab dummerweise die falsche Aufgabe gepostet)

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Es sind die gleichen Regeln, Ansätze wie bei normalen DGL.

dann schreib doch mal die richtige Aufgabe.

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Das wäre

\( \left(\begin{array}{l}\dot{x}_{1}(t) \\ \dot{x}_{2}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1}(t) \\ x_{2}(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}t-1 \\ t+1\end{array}\right) . \)

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x₁=a +bt

x₂=A+Bt

x_p1'=b

x_p2'=B

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Ich verstehe ehrlich gesagt nicht was du aufgeschrieben hast :' 

Wir hatten die Formel
\( x_{\text {part }}(t)=X(t) \int \limits_{0}^{t} X^{-1}(\sigma) b(\sigma) \mathrm{d} \sigma \)

hier verwirrt mich das Sigma etwas und X(t) ist aber schon gar nicht invertierbar