Sei f = x3 + x + 1 ∈ ℤ2[x] und K = ℤ2[x]/(f · ℤ2[x])

Question

Aufgabe:

Sei f = x³ + x + 1 ∈ ℤ₂[x] und K = ℤ₂[x]/(f · ℤ₂[x]).
• Bestimmen Sie alle Einheiten in K.
• Bestimmen Sie alle Nullteiler in K.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand hierbei behilflich sein?

Answer 1

Ich nehme an, dass \(\mathbb{Z}_2\) der Restklassenkörper \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)

ist. Ich bezeichne ihn hier mit \(Z_2\).

Ein Polynom 3-ten Grades ist genau dann irreduzibel,

wenn es im Koeffizientenkörper keine Nullstelle hat.

Hier ist \(f(0)=0^3+0+1=1\) und \(f(1)=1^3+1+1=1\).

\(f\) ist also irreduzibel.

\(Z_2[x]\) ist ein Hauptidealring, daher ist jedes irreduzible

Element ein Primelement. Folglich ist das Hauptideal

\(f\cdot Z_2[x]\) ein Primideal und somit \(K\) ein

Integritätsbereich. Sei \(\alpha\) die Restklasse von \(x\) in \(K\)..

Dann ist \(K=\{a+b\alpha+c\alpha^2:\; a,b,c\in Z_2\}\);

denn \(\alpha^3=\alpha+1\). \(K\) ist also endlich.

Ein endlicher Integritätsbereich ist ein Körper.

Damit ergeben sich die angegebenen Fragen.

Comments

Und was, wenn der Polynom f = x3 + 1 ist?

Vielen Dank im Voraus.

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Dann ist \(x^3+1=(x^2+x+1)(x+1)\),

also im Restklassenring

\((\alpha^2+\alpha+1)(\alpha+1)=0\) und damit ist

\(\alpha+1\) ein Nullteiler \(\neq 0\).

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Und, wie kommt man auf die Einheiten von x^3+1

Vielen Dank im Voraus.

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In einem endlichen kommutativen Ring sind alle Nichtnullteiler Einheiten.

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Dann ist \(x^3+1=(x^2+x+1)(x+1)\)

Fast.
 \(x^3+1=(x^2-x+1)(x+1)\)

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Wegen Charakteristik 2 ist Plus=Minus.