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Habe Probleme bei folgender Aufgabe:


Wir betrachten das Anfangswertproblem
\( u^{\prime}(t)=\cos (t) u(t), \quad u(0)=1 . \)
(i) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass es ein \( T>0 \) und eine Funktion \( u:[0, T) \rightarrow \mathbb{R} \) so gibt, dass \( u \) die eindeutig bestimme Lösung von (2) auf \( [0, T) \) ist. Begründen Sie anschliełend, dass die Lösung sogar für alle positive Zeiten existiert, d.h., dass \( T=\infty \) gewählt werden kann.

(ii) Berechnen Sie die rekursiv definierte Funktionenfolge \( \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \)
\( u_{0}(t):=1 \quad(t \geq 0), \quad u_{n+1}(t):=u_{n}(0)+\int \limits_{0}^{t} \cos (s) u_{n}(s) \mathrm{d} s \quad(t \geq 0) \)
Zeigen Sie ferner, dass \( \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) gleichmäßig gegen die Lösung \( u \) von (2) konvergiert.

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Was ist (2) ?

Hallo, hatte ich vergessen hinzuzufügen. Danke für die Info! (Ist es überhaupt noch möglich die Frage zu bearbeiten?)

Dass ist die (2):

\(u^{\prime}(t)=\cos (t) u(t), \quad u(0)=1 . \)

\(u^{\prime}(t)=\cos (t) u(t), \quad u(0)=1  \)

wird z.B. von \(u(t)=e^{sin(t)}\) erfüllt.

Da die Aufgabe mehrere Teile umfasst, solltest Du mal mit einem eigenen Beitrag beginnen. Die erste Frage lässt sich einfach beantworten. Das könntest Du selbst machen oder sag, was Dir am Satz von PL unklar ist....

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