Begründen Sie, warum der Grenzwert der Folge (an)n∈N, falls dieser existiert, die positive Lösung a der …

Question

Aufgabe:

Wir definieren eine Folge (an)n∈Ndurch die Rekursion a1= 1 und an+1=1 durch 1+an für alle n∈N.

(a)  Begründen Sie, warum der Grenzwert der Folge (an)n∈N, falls dieser existiert, die positive Lösung   a der quadratischen Gleichung   a2+a−1 = 0 sein muss. Berechnen Sie anschließend den Wert von a.

b)  Zeigen Sie, dass |an+1−a|≤1 durch 1 +a mal |an−a| für alle n∈N,und folgern Sie daraus die Konvergenz der Folge (an) n∈N mit lim n→∞an=a.Hinweis:Rechnen Sie zunächst nach, dass an+1−a=−an+a durch (1+a)(1+an)    für alle n∈N gilt.

Answer 1

(a)  Begründen Sie, warum der Grenzwert der Folge (an)n∈N, falls dieser existiert, die positive Lösung a der quadratischen Gleichung a2+a−1 = 0 sein muss. Berechnen Sie anschließend den Wert von a.

Das war ja wohl a₁=1 und $$a_{n+1}=\frac{1}{a_n+1}$$

Wenn die Folge einen Grenzwert hat, gehen ja a_n+1 und auch a_n gegen

diesen Grenzwert a, also gilt   a = 1 / ( 1+a)     | (1+a)

                  a*(1+a) = 1  bzw.     a^2+a−1 = 0

Und da es mit einem pos. Wert beginnt, kommen durch die Rekursion

keine negativen Werte zustande, also kann auch der Grenzwert nicht

negativ sein. Somit a= (-1+√5) / 2 .

Comments

ja vielen Dank und Teil b ist für mich wesentlich auch , weil a habe ich die richtige Antwort gefunden aber b noch nicht.