Habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Wir betrachten das Anfangswertproblem
\( u^{\prime}(t)=\cos (t) u(t), \quad u(0)=1 . \)
(i) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass es ein \( T>0 \) und eine Funktion \( u:[0, T) \rightarrow \mathbb{R} \) so gibt, dass \( u \) die eindeutig bestimme Lösung von (2) auf \( [0, T) \) ist. Begründen Sie anschliełend, dass die Lösung sogar für alle positive Zeiten existiert, d.h., dass \( T=\infty \) gewählt werden kann.
(ii) Berechnen Sie die rekursiv definierte Funktionenfolge \( \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \)
\( u_{0}(t):=1 \quad(t \geq 0), \quad u_{n+1}(t):=u_{n}(0)+\int \limits_{0}^{t} \cos (s) u_{n}(s) \mathrm{d} s \quad(t \geq 0) \)
Zeigen Sie ferner, dass \( \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) gleichmäßig gegen die Lösung \( u \) von (2) konvergiert.
