Mehrdimensionale Potenzreihe finden

Question

Aufgabe:

Finde eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt (0,0), die auf einer Umgebung dieses Punktes mit der Funktion

$$f: \mathbb{R}^2 \backslash \{0\} \to \mathbb{R} \\ (x,y) \to \frac{cos(xy^2)-cos(x^2y)}{x^2y^2}$$

übereinstimmt. Für welche Punkte konvergiert die Potenzreihe? Bestimme den Grenzwert von f für (x,y) --> (0,0)

Mir ist nur der Ansatz wichtig,um zu schauen, ob mein bisheriger Kenntnisstand ausreicht, um diese Aufgabe zu lösen. Bis jetzt hab ich nur mehrdimensionale Taylorreihen ausprobiert und geschaut, ob sich die partiellen Ableitungen in irgendeiner Weise vereinfachen lassen (das war nicht der Fall).

Beste Grüße und Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Es gilt cos(z)=1-z^2/(2!)+z^4/(4!)-z^6/(6!)+...

Damit hätten wir hier im Zähler

(1-(xy^2)^2/(2!)+(xy^2)^4/(4!)-(xy^2)^6/(6!)+...)-(1-(x^2y)^2/(2!)+(x^2y)^4/(4!)-(x^2y)^6/(6!)+...),

was sich zu (xy)^2(y-x)/(2!)+(xy)^4(y^3-x^3)/(4!)+(xy)^6(y^5-x^5)/(6!)+.. zusammenfassen lässt.

Das lässt sich noch mit dem Faktor x^2 y^2  im Nenner kürzen...