Aloha :)
Die Sinus- und die Cosinus-Funktion sind \(2\pi\)-periodisch, d.h. du kannst zu ihrem Argument beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Funktionswert ändert. Die erste Wiederholung des Funktionswertes bekommst du bei der Addition von \(2\pi\). Daraus kannst du dir die Periodenlängen \(\lambda\) der allgemeinen Sinus- und Cosinus-Funktionen wie folgt überlegen:$$\sin(k\cdot x+\varphi)=\sin(k\cdot x+2\pi+\varphi))=\sin\left(k\cdot\left(x+\frac{2\pi}{k}\right)+\varphi\right)\implies\lambda=\frac{2\pi}{k}$$$$\cos(k\cdot x+\varphi)=\cos(k\cdot x+2\pi+\varphi))=\cos\left(k\cdot\left(x+\frac{2\pi}{k}\right)+\varphi\right)\implies\lambda=\frac{2\pi}{k}$$
Eine Sinus- oder Cosinusfunktion der Form$$\sin(k\cdot x+\varphi)\quad;\quad\cos(k\cdot x+\varphi)$$hat also die Periodenlänge \(\boxed{\lambda=\frac{2\pi}{k}}\), die Verschiebung \(\varphi\) spielt keine Rolle.
Damit kannst du die Periodenlängen der Funktionen sofort angeben:$$(1)\quad k=3\implies\lambda=\frac{2\pi}{3}$$$$(2)\quad k=1\implies\lambda=2\pi$$$$(3)\quad k=2\pi\implies\lambda=\frac{2\pi}{2\pi}=1$$$$(4)\quad k=\frac{3\pi}{2}\implies\lambda=\frac{2\pi}{\frac{3\pi}{2}}=\frac43$$
