Lässt sich allgemein beweisen, dass die Differenz p=n^3-1 keine Kubikzahl sein kann?

Question

Aufgabe:

Lässt sich allgemein beweisen, dass die Differenz p = n^3-1 keine Kubikzahl sein kann ?

$$ n,p\in \mathbb{N} $$
Problem/Ansatz:

Durch Probieren lässt sich das für viele Fälle bestätigen.

Gibt es vielleicht eine Methode (z.B. Vollständige Induktion), um das allgemein zu beweisen?

Mir fehlt hier irgendwie der Ansatz.

Answer 1

n^3 - 1 = m^3 → n^3 - m^3 = 1

Dann müsste die Differenz zweier Kubikzahlen 1 sein. Da die Reihe der Kubikzahlen streng monoton steigend ist können wir zwei aufeinanderfolgende Kubikzahlen nehmen und die Differenz bilden.

n^3 - (n - 1)^3 = 3·n^2 - 3·n + 1 = 1 → n = 0 oder n = 1

Für n = 1 ist 1^3 - 1 = 0 eine Kubikzahl.

Für n = 0 ist 0^3 - 1 = - 1 keine Kubikzahl.

Beachte eine Kubikzahl entsteht wenn man eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert.

Also n^3 - 1 kann eine Kubikzahl sein.

Achtung: Bei einigen Mathematikern ist die Null keine Kubikzahl. Weil sie die 0 nicht mit zu den natürlichen Zahlen zählen.

Answer 2

Seien \(m,n\in \mathbb{N}\) mit \(n^3-1=m^3\). Dann gilt

\(1=n^3-m^3=(n-m)(m^2+mn+n^2)\), folglich

\(n-m=1\), d.h. \(n=m+1\) und \(m^2+mn+n^2=1\), also

\(1=(m+1)^2+(m+1)m+m^2=3m^2+3m+1\), folglich

\(m(m+1)=0\), somit \(m=0, \; n=1\).

Lässt man 0 nicht als natürliche Zahl gelten, ist die

Aussage bewiesen.

Comments

Danke.

Ich verstehe leider nicht, wie man nach der Faktorisierung plötzlich

auf m-n=1 kommt.

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wenn a und b natürliche Zahlern sind mit ab=1,

dann geht das doch nur wenn a=b=1 ist.