Aloha :)
zu a) Parameterdarstellung
$$S=\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\bigg|\,z+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\;\land\;z\ge0\right\}$$Zur Beschreibung der Punkte aus \(S\) bieten sich Polarkoordinaten an:$$x=r\cos\varphi\quad;\quad y=r\sin\varphi\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$Die Darstellung der \(z\)-Koordinate folgt aus der ersten Bedingung$$z=1-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1-\frac{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}{4}=1-\frac{r^2}{4}$$und die zweite Bedingung schränkt das Intervall für \(r\) ein:$$z\ge0\implies1-\frac{r^2}{4}\ge0\implies\frac{r^2}{4}\le1\implies r^2\le4\stackrel{(r\ge0)}{\implies} r\le2$$Damit haben wir eine Menge \(B\) und eine Funktion \(\vec f\) gefunden, mit der wir alle Punkte aus \(S\) abtasten können:$$\vec f(r,\varphi)=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\1-\frac{r^2}{4}\end{pmatrix}\quad;\quad (r;\varphi)\in B\coloneqq[0;2]\times[0;2\pi]$$
zu b) Flächeninhalt
Zur Bestimmung des Flächeninhalts müssen wir das Flächenelement \(dA=dx\,dy\) in die Polarkoordinaten-Darstellung von oben umrechnen:
$$dA=\left|\frac{\partial\vec f}{\partial r}\,dr\right|\times\left|\frac{\partial\vec f}{\partial\varphi}\,d\varphi\right|=\left|\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\-\frac12r\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\right|\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{dA}=\left|\begin{pmatrix}\frac12r^2\cos\varphi\\[1ex]\frac12r^2\sin\varphi\\r\end{pmatrix}\right|\,dr\,d\varphi=\frac r2\left|\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\[1ex]r\sin\varphi\\2\end{pmatrix}\right|\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{dA}=\frac r2\sqrt{(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2+2^2}\,dr\,d\varphi=\frac r2\sqrt{r^2+4}\,dr\,d\varphi$$
Damit erhalten wir den gesuchten Flächeninhalt:$$\sigma(S)=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\frac r2\sqrt{r^2+4}\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^2\frac r2(r^2+4)^{\frac12}\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[\frac r2\,\frac{(r^2+4)^{\frac32}}{\frac32\cdot2r}\right]_{r=0}^2\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}$$$$\phantom{\sigma(S)}=\left[\frac{(r^2+4)^{\frac32}}{6}\right]_{r=0}^2\cdot2\pi=\left(\frac{8\sqrt2}{3}-\frac43\right)\cdot2\pi=\frac{8(2\sqrt2-1)}{3}\,\pi\approx15,3178\;\mathrm{FE}$$
zu c) Randkurve
Die Randkurve erhalten wir für \(r=2\):$$\vec r(\varphi)=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Das ist ein Kreis mit Radius \(2\) in der \(xy\)-Ebene.
zu d) Integral für Vektorfeld
Das gesuchte Integral über die Fläche \(S\) führen wir mit dem Stokes'schen Satz \((d\vec r=d\vec A\times\vec\nabla)\) auf ein Integral über den geschlossenen Rand \(\partial S\) der Fläche zurück:
$$I=\int\limits_{S}\operatorname{rot}\vec v\,d\vec A=\int\limits_S\left(\vec\nabla\times\vec v\right)\,d\vec A=\int\limits_S\left(d\vec A\times\vec\nabla\right)\,\vec v=\oint\limits_{\partial S}d\vec r\,\vec v=\oint\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\vec v(\varphi)\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi$$Die Parametrisierung \(\vec r(\varphi)\) des Randes entnehmen wir Teil (c):$$I=\oint\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}yz=2\sin\varphi\cdot0\\0\\\frac{xy}{2}=\frac{2\cos\varphi\cdot2\sin\varphi}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\,d\varphi=\oint\limits_{\varphi=0}^{2\pi}0\,d\varphi=0$$
