gleichmäßige Konvergenz mit Gaußklammer

Question

Aufgabe:

Sei [a,b] ein Intervall in ℝ und f: [a,b] --> ℂ stetig.

Gegeben sei die Funktionenfolge f_n : [a,b] --> ℂ   f_n(x) := f(\( \frac{[nx]}{n} \) )

wobei die Gaußklammmer [nx]:= max{z ∈ ℤ | z≤ nx}

Zeigen Sie, dass f_n gleichmäßig gegen f konvergiert.

Problem/Ansatz:

fn(x) konvergiert glm. gegen f(x)  ⇔  lim sup |f_n(x) - f(x)| → 0

Das heißt ich muss die Differenz der Funktionenfolge f_n und der Grenzfunktion f nach oben Abschätzen und zeigen, dass es trotzdem eine Nullfolge ergibt.

Sei c aus [a,b] dann ist f_n(c) ≤ f(c) da durch die Gaußklammer immer "abgerundet" wird.

Ich weiß aber leider nicht wie ich die Differenz |f_n(x) - f(x)| abschätzen kann, da ich nichts über f weiß.

Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke im Voraus!

Comments

Der Schluss \(f_n(c) \leq f(c)\) ist falsch, weil f nicht monoton sein braucht.

Beachte aber, dass f auf dem kompakten Intervall gleichmäßig stetig ist.

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Ich bemerke gerade, dass die Aufgabe nicht korrekt gestellt ist: Es könnte ja [na]/n<a sein, dann wäre f_n(a) nicht definiert.

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da das Intervall abg. und beschränkt ist nimmt f(x) sein Maximum und Minimum an, insbesondere ist f also beschränkt.

Soll man die Definition von glm. Stetigkeit verwenden? Da f glm Stetig ist existiert für jedes e>0 ein d>0 sodass für alle x und y aus dem Intervall gilt: |y-x|<d → |f(y)-f(x)| < e

Wenn man bei der letzten Ungleichung y = [nx]/n setzt sieht es ja schon beinahe nach gleichmäßiger Konvergenz aus, oder ist das der falsche Ansatz?

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Ja, jetzt brauchst Du nur noch die Differenz zwischen x und [nx]/n abschätzen.

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Hallo

gegen was konvergiert denn [nx]/n für  alle x, notfalls probier ein paar x und große n aus.

lul

Answer 1

Hallo,

die Gauss-Klammer (Abrunden) ist durch folgende Eigenschaft charakterisiert:

$$[y] \leq y<[y]+1$$

Daher

$$\frac{[nx]}{n} \leq \frac{nx}{n}=x <\frac{[nx]+1}{n} $$

$$\Rightarrow 0 \leq x -\frac{[nx]}{n} <\frac{1}{n}$$

Wenn dann also \(e>0\) gegeben ist, wählt man \(d>0\) gemäß gleichmäßiger Stetigkeit, dann folgt für \(n>\frac{1}{d}\):

$$|f_n(x)-f(x)| < e \text{  für } x \in [a,b]$$

Wie im Kommentar gesagt, muss man etwa f stetig fortsetzen auf [a-1,b], damit das formal korrekt ist.

Gruß Mathhilf