Das Ganze ist ein Variationsproblem bei der man die Euler-Lagrange Gleichungen benutzen muss.
Das zu minimierende Funktional ist $$ F(u) = \int_0^1 [u'(x)]^2 dx $$ mit z.B. \( u(0) = u(1) = 0 \) und der Nebenbedingung $$ G(u) = \int_0^1 [u(x)]^2 dx = 1 $$
Die Lagrangefunktion ist dann $$ L(u,\lambda) = F(u) + \lambda G(u) $$ Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben dann die folgende Dgl. für die Funktion \( u \)
$$ (1) \quad u'' = \lambda u $$ mit \( u(0) = u(1) = 0 \)
Für \( \lambda \ge 0 \) ergibt sich aus (1) nur die triviale Lösung \( u \equiv 0 \).
Für \( \lambda = -\mu^2 < 0 \) ergibt sich aus (1) die Lösung $$ u(t) = A \sin(\mu t) + B \cos( \mu t) $$
Wegen \( u(0) = 0 \) folgt \( B = 0 \) und die Lösungen sind $$ u(t) = A \sin(\mu t) $$ wegen \( u(1) = 0 \) folgt
$$ A \sin(\mu) = 0 $$ Damit hier nicht auch nur triviale Lösungen raus kommen muss gelten \( \mu = n \pi \)
Damit sind die Eigenwerte (Lagrange Multiplikator) \( \lambda = - n^2 \pi^2 \) und die Lösung ist $$ u(t) = A \sin( \pi n t)$$
Aus der Nebenbedingung folgt $$ \int_0^1 \left( A \cdot \sin(\pi n t) \right)^2 dt = \frac{A^2}{2} = 1 $$ also \( A = \pm \sqrt{2} \) und das Funktional \( F(u) \) wird zu
$$ \int_0^1 \left( A \pi n \cos(\pi n t) \right)^2 dt = \pi^2 n^2 $$ Das Minimum wird also für \( n=1\) angenommen, also für die Funktion $$ u(t) = \pm \sqrt{2} \sin(\pi t ) $$
