Aloha ;)
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optimize 99x+96y where 9x^2+74xy+16y^2=4409
Allerdings wird dir da der Lagrange-Multiplikator nicht ausgegben. Für den Fall, dass du die Lösung verstehen möchtest, folgen die wesentlichen Zusammenhänge...
Wir sollen eine Funktion \(F(x;y)\) unter einer Nebenbedingung \(g(x;y)=\text{const}\) optimieren:$$F(x;y)=99x+96y\quad;\quad g(x,y)=9x^2+74xy+16y^2=4409$$Gemäß Lagrange muss im Optimum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingngen sein. Die Koeffizienten sind die sogenannten Lagrange-Multiplikatoren. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, gibt es auch nur einen Lagrange-Multiplikator:$$\operatorname{grad}F(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad} g(x;y)$$Einsetzen ergibt:$$\binom{99}{96}=\lambda\cdot\binom{18x+74y}{74x+32y}$$Die beiden Gradienten müssen offenbar kollinear sein, also parallel oder antiparallel zueinander liegen. Daher spannen sie keine Fläche auf und ihre Determinante muss null sein:
$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rr}99 & 18x+74y\\96 & 74x+32y\end{array}\right)=5598x-3936y\implies y=\frac{933}{656}x$$
Mit dieser Bedingung kannst du nun alles ausrechnen. Setzt du das in die Nebenbedingung \(g\) ein, folgt:$$4409=g\left(x;\frac{933}{656}x\right)=\frac{3\,943\,275}{26\,896}x^2\implies x=5,483847$$$$y=\frac{933}{656}x=7,799435$$$$99=\lambda\cdot(18x+74y)\implies\lambda=\frac{99}{18x+74y}=0,146478$$Für \(x\) und \(y\) kommen nur positive Lösungen in Betracht, weil es keine negativen Produktionsmengen gibt.
