Covarianz aus Tabelle bestimmen

Question

Ich habe folgende Tabelle gegeben aus der ich unter anderem die Covarianz bestimmen soll. Das Problem, dass sich mir dabei stellt ist, dass ich jedoch nicht weiß wie ich die Zufallsvariablen in der Tabelle in X und Y unterteilen kann. Ich hatte erst versucht die Werte auf der Reihe x1 wie die Zufallsvariablen von X und die Werte auf der Reihe x2 wie die Zufallsvariablen von Y zu behandeln aber kam damit leider nicht zum richtigen Ergebnis. Die Covarianz der Zufallsvariablen X und Y soll laut meinem Professor bei 1/5 liegen. Ich wäre wirklich dankbar wenn mir hierbei Jemand weiterhelfen könnte bzw. mir erklären könnte wie ich diese Tabelle lesen muss um an das Ergebnis zu kommen.

Text erkannt:

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline \multirow{3}{*}{\( x_{i} \)} & \multicolumn{3}{|c|}{\( y_{i} \)} \\
\cline { 2 - 4 } & 1 & 2 & 3 \\
\hline 1 & 0,1 & 0,3 & 0,1 \\
\hline 2 & 0,1 & 0,2 & 0,2 \\
\hline
\end{tabular}

Answer 1

Ist hier ein Fehler drin?

COV(X, Y) = E(X·Y) - E(X)·E(Y) = 1·0.1 + 2·0.3 + 3·0.1 + 2·0.1 + 4·0.2 + 6·0.2 - (1·0.5 + 2·0.5)·(1·0.2 + 2·0.5 + 3·0.3) = 1/20 = 0.05

Comments

Danke für die Antwort. Ich kam jetzt zum selben Ergebnis und kann mir wirklich nicht erklären wie mein Professor bei COV(X,Y) auf 1/5 geschweige denn beim Erwartungswert E(X) auf 1/6 kam. Er muss dort wohl einen Fehler gemacht haben.

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E(X) muss doch als Erwartungswert im Bereich des niedrigsten und des höchsten Werts liegen. Also

1 <= E(X) <= 2

Ein Wert von 1/6 ist hier ausgeschlossen. 1.6 würde gehen, es sind allerdings

1·0.5 + 2·0.5 = 1.5

Also, wenn das euer Professor gemacht hat, dann frag da mal nach. Das ist ja eigentlich kein Fehler, der aus Versehen passieren kann.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Für die Varianz einer Zufallsvariablen gilt: \(\quad\operatorname{Var}(X)=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=\left<X\cdot X\right>-\left<X\right>\cdot\left<X\right>\)

Für die Covarianz zweier Zufallsvariablen gilt: \(\quad\operatorname{Cov}(X;Y)=\left<X\cdot Y\right>-\left<X\right>\cdot\left<Y\right>\)

Wir müssen hier also 3 Erwartungswerte berechnen:$$p(X=1)=0,1+0,3+0,1=0,5$$$$p(X=2)=0,1+0,2+0,2=0,5$$$$\leadsto\left<X\right>=1\cdot0,5+2\cdot0,5=1,5$$$$p(Y=1)=0,1+0,1=0,2$$$$p(Y=2)=0,3+0,2=0,5$$$$p(Y=3)=0,1+0,2=0,3$$$$\leadsto\left<Y\right>=1\cdot0,2+2\cdot0,5+3\cdot0,3=2,1$$$$p(XY=1)=0,1$$$$p(XY=2)=0,3+0,1=0,4$$$$p(XY=3)=0,1$$$$p(XY=4)=0,2$$$$p(XY=6)=0,2$$$$\leadsto\left<XY\right>=1\cdot0,1+2\cdot0,4+3\cdot0,1+4\cdot0,2+6\cdot0,2=3,2$$

Damit erhalten wir als Kovarianz:$$\operatorname{Cov}(X;Y)=3,2-1,5\cdot2,1=0,05$$

Comments

Ich habe das gleiche Ergebnis raus jedoch sollte laut meinem Professor hier für die Covarianz 1/5 und für den Erwartungswert E(X) = 1/6 rauskommen. Ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass bei ihm in der Rechnung ein Fehler vorliegen muss

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Für die Rechenschwäche von deinem Professor kannst du ja nichts... ;)