Konvergiert oder nicht? Folge

Question

Aufgabe:

Konvergiert oder nicht die folgende Folge:

a_n = \( \frac{2n -1}{(n-1)^2} \) * sin(\( \frac{n * π}{2} \))

(n-1)² = n² -2n +1

Bitte um detaillierte Rechnung.

Answer 1

Der erste Faktor ist eine Nullfolge, der zweite Faktor nimmt nur drei verschiedene Werte an...

Comments

Und das Produkt aus einem Faktor, der gegen Null geht und einem konstanten Faktor, geht ebenfalls gegen Null.

Also konvergiert die Folge gegen Null.

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bitte mit rechnung

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bitte mit rechnung

Probier es doch selber mal

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n-1}{(n-1)^2}$$

Den SIN kannst du mit den Extremwerten -1 oder 1 abschätzen oder wenn man es weiß auch gleich weglassen.

Answer 2

Aloha :)

$$\left|a_n\right|=\left|\frac{2n-1}{(n-1)^2}\cdot\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right|=\left|\frac{2n-1}{(n-1)^2}\right|\cdot\underbrace{\left|\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right|}_{\le1}\le\frac{2n-1}{(n-1)^2}$$$$\phantom{\left|a_n\right|}=\frac{2n-1}{n^2-2n+1}=\frac{2-\frac1n}{n-2+\frac1n}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}0$$