Aufgabe:
Cauchyfolge oder nicht (und es ist eine coole Folge).
Problem/Ansatz:
Gegeben ist die folgende Folge:
$$ c_{n} := \frac{\lfloor \sqrt{2} \cdot 10^n \rfloor } {10^n} $$
Mit: $$ n\in \mathbb{N} $$
Die dem Betrag ähnlichen Striche sind aber nicht der Betrag, sondern das Supremum der Menge aller Zahlen aus dem Bereich der ganzen Zahlen, die kleiner oder gleich dem Zähler ist, also
$$ \lfloor x \rfloor := sup( \left\{z \in \mathbb{Z} |z \leq x \right\}) $$
Ich hoffe, dass man die Formeln auch als Formeln lesen kann, sonst wäre ich für einen Tipp dankbar, wie ich das besser lesbar mache.
Die Frage ist es eine Cauchyfolge und falls ja, ist die Folge auch konvergent im Bereich der rationalen Zahlen.
Mein Vorgehen ist das Folgende:
Die Folge wäre ja: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; usw.
Demzufolge wäre die Differenz zwischen c_n und C_n+1 max. $$ \frac{9}{10^n} $$ und erfüllt somit das Kriterium für eine Cauchyfolge, da dies ja eine Nullfolge ist.
Konvergent ist die Folge auch mit dem Grenzwert $$ \sqrt{2} $$
Allerdings erscheint mir diese Lösung zu einfach, weswegen ich der Meinung bin, dass ich da einen Denkfehler in meinen Überlegungen habe. Vielleicht kann ja mal jemand drüber schauen.
Danke schon einmal für eure Hilfe und ein schönes Wochenende.
