Wie löst man Quadratische Gleichungen leicht

Question

Aufgabe:

X(Hoch2)  - 4x - 21 = 0

Problem/Ansatz:

Hallo kann mir jemand sagen wie man diese quadratische Gleichung ausrechnet am besten einfach erklärt und warum man das so rechnet die Lösung weiß ich schon die ist nämlich X= 7 und X = -3 Doch ich weiß leider nicht wie man auf dieses Ergebnis kommt

Comments

Sagen dir die pq- oder die Mitternachts-Formel etwas?

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Nein leider nicht :(

Answer 1

x^2 - 4·x - 21 = 0

plus 21 auf beiden Seiten

x^2 - 4·x = 21

quadratische Ergänzung der die linke Seite um mit der binomischen Formel zu faktorisieren

x^2 - 4·x + 4 = 21 + 4

(x - 2)^2 = 25

auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. dabei entstehen 2 Lösungen.

x - 2 = ± 5

auf beiden Seiten plus 2

x = 2 ± 5

Aufschreiben der zwei Lösungen

x1 = -3 ; x2 = 7

Comments

Danke aber könnten sie mir dieses Verfahren Schrittweise erklären?

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Ja. Ich habe schon ein paar Erklärungen eingefügt. Wobei hast du genau Schwierigkeiten. Was verstehst du konkret noch nicht so gut?

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Ich verstehe nicht wie ich das mit der Klammer machen soll also wie ich aus der quadratischen Gleichungen eine Klammer mache ich weiß, dass hat etwas mit den binomischen Formeln zu tun aber verstehe es trotzdem nicht   :(

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Genau. du kennst die Binomische Formel

(a ± b)^2 = a^2 ± 2·a·b + b^2

Ich benutze dabei jetzt gleich mal das x damit du es besser siehst

(x ± b)^2 = x^2 ± 2·b·x + b^2

Du musst also Deine Gleichung so umwandeln das du einen Ausdruck wie auf der rechten Seite hast damit du mittels binomische Formel das Binom faktorisieren kannst.

Schauen wir uns nochmal die Gleichung an vor der quadratischen ergänzung

x^2 - 4·x = 21

x^2 - 2·2·x + ____ = 21 + ____
x^2 ± 2·b·x + b^2

Jetzt vergleiche mal mit der Form die die binomische Formel haben muss.

Du siehst das b = 2 ist oder? Damit fehlt dann nur noch ein 2^2 oder 4.

Also addiert man das auf beiden Seiten

x^2 - 2·2·x + 2^2 = 21 + 2^2
x^2 ± 2·b·x + b^2 = (x ± b)^2

Siehst du jetzt die Ähnlichkeit der Linken seite. Damit können wir das also als Klammer schreiben.

(x - 2)^2 = 21 + 2^2

Wenn du die linke Seite jetzt wieder Ausmultiplizierst mittels Binomische Formel sollte es vielleicht noch klarer werden.

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Vielen Dank ich habe es verstanden werde es jetzt üben damit ich das noch besser lerne:)

Answer 2

Verwende die pq-Formel oder die quadratische Ergänzung (je nachdem, welches dieser Lösungsverfahren ihr gelernt habt).

Comments

Mir sagen quadtatische Ergänzung etwas das kenne ich

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Aber ich weiß leider nicht wie das funktioniert

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$$x^2-4x-21=0\\(x-2)^2-4-21=0\\(x-2)^2=25\quad|\sqrt{}\\ x-2=5\quad \text{und}\quad x-2=-5\\ x=7\text{  und  }x=-3$$

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Dankeschön aber könnten sie mir sagen wie sie das so gerechnet haben?

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Ziel der quadratischen Ergänzung ist es, einen Term in die Form \((x+a)^2+b\) zu bringen.

a ist die Hälfte der Zahl vor dem x, hier also -2 ⇒ \((x-2)^2\)

Ausmultipliziert ergibt das nach der 2. Binomischen Formel \(x^2-4x+4\)

Die "4" war vorher noch nicht da und muss daher subtrahiert werden, um das "Gleichgewicht wieder herzustellen".

\((x-2)^2-4-21=0\)

Ist es jetzt klar?

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Ja Dankeschön:)

Answer 3

Bei ganzzahligen Lösungen kann man den Satz von Vieta anwenden.

$$ x_1x_2=q=-21~~~~~x_1+x_2=-p=4$$

Also 7 und -3.   :-)