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zu a) Wir sollen die Injektivität folgender Funktion untersuchen:$$f_a\colon(-\infty;-2)\to\mathbb R\,,\,x\to f_a(x)=-2x^2+ax-4$$
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge (Wertemenge) höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen daher an, es gibt zwei Argumente \(x,y\in(-\infty,-2)\) mit dem gleichen Funktionswert \(f(x)=f(y)\) und prüfen, für welche \(a\) daraus die Gleichheit der Argumente \(x=y\) folgen muss.
$$f(x)=f(y)\implies-2x^2+ax-4=-2y^2+ay-4\implies2y^2-2x^2=ay-ax$$$$\phantom{f(x)=f(y)}\implies2(y+x)(y-x)=a(y-x)$$Für \(x=y\) ist die Gleichung immer erfüllt, das war klar. Allerdings kann die Gleichung auch für \(x\ne y\) erfüllt sein, wenn nämlich \(a=2(x+y)\) gilt. Für welche \(a\) wird das passieren?$$x,y<-2\implies x+y<-4\implies2(x+y)<-8\implies a<-8$$
Nur für \((a\ge-8)\) ist die Funktion injektiv, gilt also \(\left(f(x)=f(y)\implies x=y\right)\).
zu c) Bestimme \(M\) so, dass folgende Abbildung bijektiv ist.$$f\colon[2;3]\to M\,,\,x\to f(x)=\frac1x-\frac15$$Ich habe die Variable \(y\) durch \(x\) ersetzt, um Verwirrung zu vermeiden. Wegen \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0\) ist die Funktion für \(x\in[2;3]\) streng monoton fallend. Das heißt, jeder Funktionswert wird in diesem Intervall höchstens 1-mal angenommen. Die Funktion ist also injektiv.
Die Funktion \(f(x)\) ist im Intervall \(x\in[2;3]\) aber auch stetig. Wegen der Monotonie ist \(f(2)>f(3)\) und die Stetigkeit garantiert uns nach dem Zwischenwertsatz, dass jeder der Werte aus dem Ziel-Intervall \([f(3);f(2)]\) mindestens 1-mal angenommen wird. Also ist die Funktion in diesem Ziel-Intervall auch surjektv.
Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Da die Funktion \(f\) bezüglich der Zielmenge \([f(3);f(2)]\) injektiv (jedes Ziel wird höchstens 1-mal getroffen) und surjektiv (jedes Element wird mindestens 1-mal getroffen) ist, ist sie auch bijektiv. Die gesuchte Zielmenge ist also$$M=\left[f(3);f(2)\right]=\left[\frac{2}{15}\,;\,\frac{3}{10}\right]$$
