Aloha :)
Mit \((\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt9\cdot\sqrt2=3\cdot\sqrt2)\) formen wir zuerst den Zähler um:$$\phantom=\frac{3-\frac{10}{3}\sqrt{18}}{10+3\sqrt2}=\frac{3-\frac{10}{3}\cdot3\cdot\sqrt2}{10+3\sqrt2}=\frac{3-10\sqrt2}{10+3\sqrt2}$$
Nun erweitern wir den Bruch mit \((10-3\sqrt2)\), um im Nenner die 3-te binomische Formel anwenden zu können:
$$=\frac{\left(3-10\sqrt2\right)\cdot(10-3\sqrt2)}{(\underbrace{10}_{a}+\underbrace{3\sqrt2}_{b})\cdot(\underbrace{10}_{a}-\underbrace{3\sqrt2)}_{b}}=\frac{30-100\sqrt2-9\sqrt2+30(\sqrt2)^2}{\underbrace{10^2}_{a^2}-\underbrace{3^2\cdot(\sqrt2)^2}_{b^2}}$$$$=\frac{30-109\sqrt2+60}{100-18}=\frac{\pink{90}\green{-109}\sqrt2}{82}\stackrel!=\frac{\pink x+\green y\sqrt2}{82}$$
Ein Vergleich unseres Ergebnisses mit dem Soll-Ergebnis liefert:$$\pink{x=90}\quad;\quad\green{y=-109}$$