Finden Sie x, y ∈ ℤ , für die gilt: \frac{3-\frac{10}{3} √{18}}{10+3 √{2}}=\frac{x+y √{2}}{82} .

Question

Text erkannt:

(b) Finden Sie \( x, y \in \mathbb{Z} \), für die gilt: \( \frac{3-\frac{10}{3} \sqrt{18}}{10+3 \sqrt{2}}=\frac{x+y \sqrt{2}}{82} \).
\( x= \)
\( y= \)

Answer 1

Text erkannt:

\( \frac{3-\frac{10}{3} \cdot \sqrt{18}}{10+3 \cdot \sqrt{2}}=\frac{x+y \cdot \sqrt{2}}{82} \)
\( \frac{-\sqrt{2}}{10+3 \cdot \sqrt{2}}=\frac{x+y \cdot \sqrt{2}}{82} \)
\( \left(\frac{-\sqrt{2} \cdot(10-3 \cdot \sqrt{2})}{(10+3 \cdot \sqrt{2}) \cdot(10-\sqrt{2})}=\frac{x+y \cdot \sqrt{2}}{82}\right. \)
\( \frac{-\sqrt{2} \cdot(10-3 \sqrt{2})}{82}=\frac{x+y \cdot \sqrt{2}}{82} \)
\( \ldots= \)
\( y=\ldots \)

Comments

\(\frac{3-\frac{10}{3} \cdot \sqrt{18}}{10+3 \cdot \sqrt{2}}=\frac{x+y \cdot \sqrt{2}}{82} \)

\( \frac{-\sqrt{2}}{10+3 \cdot \sqrt{2}}=\frac{x+y \cdot \sqrt{2}}{82} \)

Vergleiche deinen Weg mit der richtigen Antwort und finde deinen Fehler.

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Danke! So etwas passiert, wenn man zu schnell rechnet.

Answer 2

Aloha :)

Mit \((\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt9\cdot\sqrt2=3\cdot\sqrt2)\) formen wir zuerst den Zähler um:$$\phantom=\frac{3-\frac{10}{3}\sqrt{18}}{10+3\sqrt2}=\frac{3-\frac{10}{3}\cdot3\cdot\sqrt2}{10+3\sqrt2}=\frac{3-10\sqrt2}{10+3\sqrt2}$$

Nun erweitern wir den Bruch mit \((10-3\sqrt2)\), um im Nenner die 3-te binomische Formel anwenden zu können:

$$=\frac{\left(3-10\sqrt2\right)\cdot(10-3\sqrt2)}{(\underbrace{10}_{a}+\underbrace{3\sqrt2}_{b})\cdot(\underbrace{10}_{a}-\underbrace{3\sqrt2)}_{b}}=\frac{30-100\sqrt2-9\sqrt2+30(\sqrt2)^2}{\underbrace{10^2}_{a^2}-\underbrace{3^2\cdot(\sqrt2)^2}_{b^2}}$$$$=\frac{30-109\sqrt2+60}{100-18}=\frac{\pink{90}\green{-109}\sqrt2}{82}\stackrel!=\frac{\pink x+\green y\sqrt2}{82}$$

Ein Vergleich unseres Ergebnisses mit dem Soll-Ergebnis liefert:$$\pink{x=90}\quad;\quad\green{y=-109}$$

Answer 3

\( \dfrac{3-\frac{10}{3} \sqrt{18}}{10+3 \sqrt{2}}\\=\dfrac{3-10 \sqrt{2}}{10+ \sqrt{18}}          \\=     \dfrac{(3-10\sqrt{2})(10-\sqrt{18})}{(10+ \sqrt{18})(10-\sqrt{18})}    \\=  \dfrac{30-3\sqrt{18}-100\sqrt2+10\sqrt{36}}{100-18}  \\=\dfrac{30-9\sqrt2-100\sqrt2+60}{82}           \\=\dfrac{90-109\sqrt{2}}{82} \)