Berechnen sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von t.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Matrix und die 2 Vektoren:

$$\begin{pmatrix} 1 & 3&1 \\ 2 & 2t&1\\0&4&t \end{pmatrix}$$, $$u=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$, $$v=\begin{pmatrix} 2\\2\\4 \end{pmatrix}$$

Berechnen sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von t für Ax=v und Ax=b

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe hier irgendwie einen Hänger.

Also ich weiß, dass man die Anzahl der Lösungen am Rang sehen kann.

In der Musterlösung bringt der Prof es auf eine Form, dass in der 3. Spalte der 3. Zeile der Matrix der Therm:
$$\frac{-t}{2}+\frac{3t}{2}-1$$ steht.

Aber ich kann nicht nachvollziehen, wie er auf diesen Therm kommt. Ich habe (II)-2*(I) gerechnet um in der 2. Zeile die erste Null zu beseitigen und komme auf $$\begin{pmatrix} 1 & 3 &1 \\ 0 & 2t-6&-1\\0&4&t \end{pmatrix}$$

Ich könnte (3/2)*III rechnen und dazu dann II addieren, dann hätte ich $$\begin{pmatrix} 1 & 3 &1 \\ 0 & 2t-6&-1\\0&2t&\frac{3t}{2} \end{pmatrix}$$

Aber ich wüsste nicht, wie ich dann die 2. Spalte der 3. Zeile eliminieren soll.

Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

Comments

für Ax=v und Ax=b

Du meinst sicher: \(Ax=u\) und \(Ax=v\) ?

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Ich würde im zweiten Schritt (III) und (II) vertauschen und dann rechnen:

(III) -> (III)+0.25(6-2t)(II)

Dann erhalte ich das Ergebnis, allerdings mit einem\(-0.5t^2\) am Anfang....

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Da wo du schreibst "dann rechnen:", also danach, hast du dann (III) und (II) von der neuen Matrix mit den vertauschten Zeilen gemeint? Also (III) ist hier jetzt das was im Schritt davor noch (II) war?

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Genauso meine ich das

Answer 1

Aloha :)

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Genau eine Lösung liegt vor, wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar ist. Dazu muss ihre Determinante von Null verschieden sein:

$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 1\\2 & 2t & 1\\0 & 4 & t\end{array}\right|\stackrel{(Z_2-=2Z_1)}{=}\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 1\\0 & 2t-6 & -1\\0 & 4 & t\end{array}\right|=(2t-6)t+4=2(t-1)(t-2)$$

Für \(t\ne1\) und \(t\ne2\) haben beide Gleichungen, \(Ax=u\) und \(Ax=v\), genau eine Lösung.

Für \(t=1\) bzw. \(t=2\) erhalten wir als allgemeine Lösung von \(Ax=b\):$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 3 & 1 & b_1 &\\2 & 2 & 1 & b_2 &-2Z_1\\0 & 4 & 1 & b_3\\\hline1 & 3 & 1 & b_1 &-Z_3\\0 & -4 & -1 & b_2-2b_1 &+Z_3\\0 & 4 & 1 & b_3\\\hline1 & -1 & 0 & b_1-b_3\\\pink0 & \pink0 & \pink0 &\pink{b_2-2b_1+b_3}\\0 & 4 & 1 & b_3\end{array}\quad\quad\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 3 & 1 & b_1 &\\2 & 4 & 1 & b_2 &-2Z_1\\0 & 4 & 2 & b_3\\\hline1 & 3 & 1 & b_1 &-\frac12\cdot Z_3\\[0.5ex]0 & -2 & -1 & b_2-2b_1 &+\frac12\cdot Z_3\\[0.5ex]0 & 4 & 2 & b_3 & \colon2\\\hline1 & 1 & 0 & b_1-\frac12b_3\\[0.5ex]\pink 0 & \pink0 & \pink 0 & \pink{b_2-2b_1+\frac12b_3}\\[0.5ex]0 & 2 & 1 & \frac{b_3}{2}\end{array}$$

Entscheidend für die Lösbarkeit ist die Gültigkeit der pinken Gleichung.

Für \(b=u=(0;0;0)\) ist die pinke Gleichung sowohl für \(t=1\) als auch für \(t=2\) erfüllt. Daher gibt es unendlich viele Lösungen.

Für \(b=v=(2;2;4)\) ist die pinke Gleichung für \(t=1\) nicht erfüllt \((\pink{0\ne2})\), daher gibt es für diesen Fall keine Lösung. Für \(t=2\) ist die pinke Gleichung erfüllt \((\pink{0=0})\) und es gibt unendlich viele Lösungen.

Comments

Oh, an die Determinante habe ich garnicht gedacht, da lässte sich das LGS vermutlich etwas angenehmer lösen :D

Vielen dank für die ausführliche Hilfe :)

Answer 2

Ich komme auf folgende Stufenform der Matrix

$$ A(t) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 6-2t & 1 \\ 0 & 0 & (t-1)(t-2) \end{pmatrix} $$

D.h. man muss die Fälle \( t \in \{1, 2 \} \) und \( t \notin \{1,2\} \) unterscheiden.

Man muss also einmal das LGS $$ A(t) x = v $$ und einmal das Gleichungssystem $$ A(t) x = u $$ lösen.

Oder sollten die beiden Gleichungen simultan gelöst werden?

Comments

Vielen Dank, die Gleichungen sollen separat gelöst werden, es sind 2 einzelne LGS :)

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Kommst Du jetzt weiter mit dem was ich geschrieben habe?

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Ja, das sieht einiges schöner aus als mit dem Polynom 2. Ordnung mit Brüchen etc.

Vielen Dank :)