Wie muss x gewählt werden damit alle drei Vektoren in einer Ebene liegen?

Question

Text erkannt:

a) Wie muss man \( \mathbf{X} \in \sim \quad \) wählen, damit die folgenden drei Vektoren in einer Ebene liege
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) ; \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} \mathrm{x} \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) ; \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) \)
Lösung: \( \quad x= \)

Aufgabe:

Wie muss x gewählt werden damit alle drei Vektoren in einer Ebene liegen ?

Answer 1

Aloha :)

Wenn die 3 Vektoren in einer Ebene liegen, ist das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen gleich Null. Das Volumen kannst du mit dem Spatprodukt oder mit der Determinante bestimmen. Wir wählen hier die Determinate:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}6 & x & 2\\1 & -1 & 3\\0 & 1 & -1\end{array}\right|\stackrel{(S_2+=S_3)}{=}\left|\begin{array}{rrr}6 & x+2 & 2\\1 & 2 & 3\\0 & 0 & -1\end{array}\right|=-(12-(x+2))=x-10$$Für \(x=10\) liegen die drei Vektoren in einer Ebene.

Answer 2

Drei Vektoren liegen in einer Ebene wenn sie linear abhängig sind. D.h. es müssen Zahlen \( \alpha, \beta, \gamma \ne 0 \) ex. mit $$ \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = 0 $$ Das bedeutet aus geschrieben, es müssen folgende drei Gleichungen erfüllt sein

$$ (1) \quad 6\alpha + x \beta + 2\gamma= 0 $$ $$ (2) \quad \alpha - \beta + 3\gamma = 0 $$ $$ (3) \quad \beta - \gamma = 0 $$

Aus (3) folgt \( \beta = \gamma \). Damit folgt aus (2)

\( \alpha = -2\beta \) und aus (1)

\( (4) \quad x \beta = 10 \beta \)

Aus (4) folgt \( \beta= 0 \) oder \( x = 10 \)

Falls \( \beta = 0 \) gilt, folgt auch \( \alpha = \gamma = 0 \). D.h. \( \beta = 0 \) ist keine gesuchte Lösung, also gilt, für \( x = 10 \) liegen die drei Vektoren in einer Ebene.