Stochastik - Begründung der Wahrscheinlichkeit

Question

Aufgabe:

Ganz am Ende eines Basketballspiels kann es zu der Situation kommen, dass
ein Spieler noch zwei Freiwürfe erhält und das Spiel unm ittelbar danach beendet
ist. Für einen verwandelten Freiwurf erhält die Mannschaft einen Punkt.
Es soll folgende Situation betrachtet werden:
Die Mannschaft des Freiwurfschützen liegt mit einem Punkt im Rückstand. Seine
Trefferwahrscheinlichkeit sei bei b eiden Würfen p. Im Fall eines Unentschiedens
in der folgenden Verlängerung betrage die Siegchance für beide Mannschaften
50%.
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für die Mannschaft des
Freiwurfschützen, als Sieger aus diesem Spiel zu gehen, genau p ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz was die Aufgabenstellung mir sagen soll und inwiefern sich das lösen lässt bzw. was das Problem sein soll.

Answer 1

Mal Dir mal ein Baumdiagramm auf mit allen Möglichkeiten. Dann siehst Du folgend Pfade:

1. Treffer mit Wahrscheinlichkeit \( p \) / Treffer mit Wahrscheinlichkeit \( p \) \( \Rightarrow \) Sieg Insgesamt mit Wahrscheinlichkeit \( p^2 \)

2. Treffer mit Wahrscheinlichkeit \( p \) / Kein Treffer mit Wahrscheinlichkeit \( 1 - p \) / Verlängerung mit \( p = \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow\) Sieg mit \( p(1-p)\frac{1}{2} \)

3. Kein Treffer mit Wahrscheinlichkeit \( 1-p \) / Treffer mit Wahrscheinlichkeit \( p \) / Verlängerung mit \( p = \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow\) Sieg mit \( p(1-p)\frac{1}{2} \)

Summe aller Siegwahrscheinlichkeiten ist $$ p^2 + 2 \cdot p(1-p)\frac{1}{2} = p $$

Comments

Danke vielmals, ich habe das jetzt super gut verstanden ! ;)

Answer 2

Für den Sieg der Mannschaft des Freiwurfschützen gibt es folgende 3 Pfade:

Treffer --- Treffer (und damit Sieg)

Treffer --- kein Treffer --- Sieg in der Verlängerung

kein Treffer --- Treffer --- Sieg in der verlängerung