Aloha :)
Hier bieten sich zwei Methoden an...
(1) Ausmultiplizieren nach dem Ableiten
Du kennst bestimmt die Produktregel für zwei Funktionen:$$(u\,v)'=u'v+uv'$$Sie lässt sich auf beliebig viele Funktionen erweitern, bei 3 Funktionen lautet sie:$$(u\,v\,w)'=u'vw+uv'w+uvw'$$Diese Produktregel kannst du hier anwenden:$$f'(x)=(\,\underbrace{-0,25x^2}_{u}\,\underbrace{(x-2)}_{v}\,\underbrace{(x+1)}_{w}+1\,)'$$$$\phantom{f'(x)}=\underbrace{-0,5x}_{u'}\,\underbrace{(x-2)}_{v}\,\underbrace{(x+1)}_{w}+\underbrace{(-0,25x^2)}_{u}\cdot\underbrace{1}_{v'}\cdot\underbrace{(x+1)}_{w}+\underbrace{(-0,25x^2)}_{u}\,\underbrace{(x-2)}_{v}\cdot\underbrace{1}_{w'}$$$$\phantom{f'(x)}=-0,5x(x-2)(x+1)-0,25x^2(x+1)-0,25x^2(x-2)$$Dieses Ergebnis musst du nun noch vereinfachen:$$\phantom{f'(x)}=\pink{-0,25x}\cdot2(x-2)(x+1)\pink{-0,25x}\cdot x(x+1)\pink{-0,25x}\cdot x(x-2)$$$$\phantom{f'(x)}=\pink{-0,25x}\cdot(2(x-2)(x+1)+x(x+1)+x(x-2))$$$$\phantom{f'(x)}=-0,25x\cdot((2x^2-2x-4)+(x^2+x)+(x^2-2x))$$$$\phantom{f'(x)}=-0,25x\cdot(4x^2-3x-4)$$
(2) Ausmultiplizieren vor dem Ableiten
Bei der Methode von oben musst du die Terme nach dem Ableiten vereinfachen. Bei dieser Methode hier werden die Terme vor dem Ableiten vereinfacht:$$f(x)=-0,25x^2(x-2)(x+1)+1=-0,25x^2(x^2-2x+x-2)+1$$$$\phantom{f(x)}=-0,25x^2(x^2-x-2)+1=-0,25x^4+0,25x^3+0,5x^2+1$$Das ist nun schnell abgelitten:$$f'(x)=-x^3+0,75x^2+x$$
Grundsätzlich gilt, vereinfache vor dem Ableiten den Ausdruck soweit wie möglich. Manchmal geht das nicht, etwa wenn trigonometrische Funktionen oder Wurzel- und Exponentialfuntkionen im Funktionsterm auftauchen. Dann solltest du Methode (1) anwenden und "hoffen", dass nach dem Ableiten eine Vereinfachung möglich ist.
