Differrenziere nach der Quotientenregel. Bilde auch die 2.Ableitung

Question

Hallo.

Ich habe gerade das Buch: Elemente der Mathematik LK neben mir und hab im Buch eine Aufgabe gesehen und diese lautet:

Differenziere nach der Quotientenregel, bilde auch die 2.Ableitung.

a)  f(x)= x²/x²+1

b) f(x)= 7x+4/2x+6

 

Ich weiß wie man die Quotientenregel anwedent, aber was meinen die mit Differenziere nach der 2.Ableitung?

Und wie bilde ich die 2.Ableitung??? Vielleicht indem man nochmal die Quotientenregel anwendet? ^^

Comments

Zunächst einmal: Achte auf die Klammersetzung:

Du meinst sicher x² / (x² + 1 )

So, wie du es aufgeschrieben hast, steht da f(x) = 1 + 1 = 2, weil sich das x² wegkürzen lässt.

 

Den Rest hast du richtig vermutet. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitung. Ob du wieder die Quotientenregel anwenden musst, hängt von der Funktion (und Ableitung) ab. Hier ist es tatsächlich so.

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Ahso ja :) Die Klammersetzung bei mir ist oft das Problem ....

Gut, dann war meine Vermutung wohl richtig :D Aber was meinen die noch mit Differenziere?? was soll ich darunter verstehen? :)

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differenzieren heißt ableiten

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Ahsooo dankeeeee HGF :) Hättest du eine Antwort geg. würde ich dir sofort den Stern geben :(

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b.) heißt dann ( mit richtiger Klammersetzung )

  f ( x  )= ( 7x+4) / ( 2 x+6 )

  mfg Georg

Answer 1

Hier die Lösungen zum Vergleich:

a)

f ' (x) = (2x (x²+1) - x² * 2x) / (x²+1)² = 2x / (x²+1)²

f '' (x) = (2 (x²+1)² - 2x*2*(x²+1)*2x) / (x²+1)⁴ = (2 (x²+1) - 8x²)  / (x²+1)³ = (-6x² + 2) / (x²+1)³

 

b)

f ' (x) = (7*(2x+6) - (7x+4)*2) / (2x+6)² = (14x + 42 -14x - 8)  / (2x+6)² = 34 / (2x+6)²

f '' (x) = (0 * (2x+6)² - 34 * 2 * (2x+6) *2) / (2x+6)⁴ = -136 / (2x+6)³

Comments

Hallo HGF :)

Danke dass du noch dein Kommentar zu einer Antwort gemacht hast!! Hat mir sehr geholfen!!! :)

Answer 2

$$f(x)=\frac { { x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } =\frac { u }{ v }$$$$f'(x)=\frac { u'v-uv' }{ { v }^{ 2 } } =\frac { 2x({ x }^{ 2 }+1)-{ x }^{ 2 }*2x }{ { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 2 } } }$$$$ =\frac { 2x({ x }^{ 2 }+1-{ x }^{ 2 }) }{ { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 2 } } } =\frac { 2x }{ { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 2 } } }$$$$f''(x)=\frac { 2{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 2 }-2x*2x*2{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  } }{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 4 } }$$$$=\frac { 2\left( { x }^{ 2 }+1 \right) -8x^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 3 } } =\frac { 2-6{ x }^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }^{ 3 } }$$

$$f(x)=\frac { 7x+4 }{ 2x+6 } =\frac { 7x+4 }{ 2(x+3) } =\frac { u }{ v }$$$$f'(x)=\frac { u'v-uv' }{ { v }^{ 2 } } =\frac { 7*2(x+3)-(7x+4)2 }{ 4(x+3)^{ 2 } }$$$$=\frac { 14x+42-14x-8 }{ 4(x+3)^{ 2 } } =\frac { 34 }{ 4(x+3)^{ 2 } }=\frac { 17 }{ 2(x+3)^{ 2 } }$$$$f''(x)=\frac { 0-17*2*1*2(x+3) }{ 4(x+3)^{ 4 } } =-\frac { 68 }{ 4(x+3)^{ 3 } } =-\frac { 17 }{ (x+3)^{ 3 } }$$

Comments

Hallo JotEs :)

Danke auch natürlich an dich :)

Hat mir genausoviel geholfen!! :)