Wie wird die Folge korrekt nach oben abgeschätzt?

Question

Aufgabe:

Zur Bestimmung des Grenzwertes, schätze die Folge $$an:=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$$ (n aus den nat. Zahlen) mithilfe des Sandwich-Lemmas ab.

Problem/Ansatz:

Der Grenzwert sollte 0 sein (genauso wie meine Abschätzung nach rechts) allerdings tue ich mich etwas schwer mit der richtigen oberen Schranke für die Folge

Nach links habe ich wie folgt abgeschätzt

$$\frac{\sqrt[n]{n}}{n}≤ \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} ≤$$

Aber wie könnte man nach rechts abschätzen? Ich freue mich über Tipps/Lösungen!

Comments

Der Grenzwert sollte 0 sein

Wer behauptet denn so was ? Bestimmt nicht Mr. Sterling.

Answer 1

Leider kein Sandwich-Verfahren, sondern

eine Potenz-Reihe, die mir über den Weg gelaufen ist:

wir bestimmen den Konvergenzradius \(r\) auf zwei verschiedene

Weisen:

1. Mit dem Quotienten \(r=\lim_{n \to \infty} |a_{n}/a_{n+1}|\)

2. Hadamard: \(r=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)

Die Potenzreihe sei$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}x^n$$Dann liefert die Quotientenmethode$$|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=(\frac{n+1}{n})^n\rightarrow e=r$$und Hadamard:$$\frac{1}{e}=\frac{1}{r}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$$

Comments

Da fragt man sich doch, was diese Abschätzung im Zusammenhang mit dem Sandwich-Lemma helfen soll.

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Ja. Das fragt man sich mit Recht. Aber ehe man gar keine obere Abschätzung hat ;-)

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ich bin gerne für andere Ansätze offen. Im Kern geht es ja nur um die Bestimmung des Grenzwertes für diese Folge.

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Habe keine Ahnung, ob Folgendes von Nutzen sein kann:

Sei \(b_n=a_n^n\). Dann gilt$$\frac{b_n}{b_{n+1}}=(1+\frac{1}{n})^n< e.$$

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Habe eine neue Antwort geschrieben.

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Sehr schön.

Mein obiger Kommentar war wie folgt zu interpretieren :

Falsche Methode, richtiges Ergebnis durch Abschätzung nach Stirling (diesmal richtig) :
n! ~ √(2πn)·(n/e)^n einsetzen ergibt a_n ~ 1/n·(√(2πn)·(n/e)^n)^1/n = 1/e·(2πn)^1/(2n) mit dem Grenzwert 1/e

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Ah ! Sehr interessant, wäre ich nie drauf gekommen !
Vielen Dank !