Problem: Wie kommt man hier von : x2 + (y-2)2 9 auf den Mittelpunkt (0,2i) und den Radius 3?

Question

Aufgabe: Skizzieren Sie die folgende Menge in der komplexen Zahlenebene:

M2={z ∈ℂ:|z|<|z-2i|<3}

Problem: Wie kommt man hier von : x² + (y-2)²    <9 auf den Mittelpunkt (0,2i) und den Radius 3 ?

Text erkannt:

(b) Diese Menge enthält Punkte, die im Inneren des Kreises um \( 2 i \) mit Radius 3 und unterhalb von der Gerade \( \operatorname{Im}(z)=1 \) liegen. Denn mit \( z=x+i y \) gilt
\( |z|<|z-2 i|<3 \Longleftrightarrow|x+i y|^{2}<|x+i y-2 i|^{2}<3^{2} \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}<x^{2}+(y-2)^{2}<9 . \)
Einerseits erhalten wir aus \( x^{2}+(y-2)^{2}<9 \) das Innere des Kreises um \( (0,2 i) \) mit Radius 3 , andererseits erhalten wir aus \( x^{2}+y^{2}<x^{2}+(y-2)^{2} \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}<x^{2}+y^{2}-4 y+4 \Longleftrightarrow 4 y<4 \) die Menge \( \{x+i y \in \mathbb{C}: y<1\} . \)

Answer 1

Die Mittelpunkt-Radius-Form der Kreisgleichung für einen Kreis mit dem Mittelpunkt \(\left(x_m\vert y_m\right)\) und dem Radius \(r\) im R^2 lautet: $$\left(x-x_m\right)^2+\left(y-y_m\right)^2=r^2$$

Answer 2

Die y-Achse ist die imaginäre Achse. In der reellen Darstellung ist der Mittelpunkt bei \( x_M = (0|2) \) und in der komplexen Darstellung eben \( z = 2i \)

Comments

Wie man auf den Radius kommt verstehe ich,aber wie kann man aus der Gleichung ablesen,dass der Mittelpunkt (0/2) bzw. (0/2i) ist ?

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Der ist nicht (0;2i) sondern z=2i. D.h. Realtime von z ist 0 und Imaginärteil von z ist 2.