Mittelpunkt und Radius bestimmen von x^2 +y^2 +4x -2y+9=0

Question

Hallo Ich muss den Mittelpunkt und Radius vom Kreis bestimmen.

x^2 +y^2 +4x -2y+9=0
Wie kann ich dies lösen?

Answer 1

Ich fürchte, da wird kein Kreis draus, denn:

x ² + y ² + 4 x - 2 y + 9 = 0

Quadratische Ergänzungen addieren und subtrahieren:

<=> x ² + 4 x + 4 - 4 + y ² - 2 y + 1 - 1 + 9 = 0

Umformungen mit Hilfe der binomischen Formeln:

<=> ( x + 2 ) ² - 4 + ( y - 1 ) ² - 1 + 9 = 0

<=> ( x + 2 ) ² + ( y - 1 ) ²  = - 9 + 4 + 1

<=> ( x - ( - 2 ) ) ² + ( y - 1 ) ²  = - 4

Das ist eine Gleichung von der Form einer Kreisgleichung:

( x - x_M ) ² + ( y - y_M ) ² = r ²

allerdings mit r ² = - 4

und ein solches r gibt es in den reellen Zahlen nicht.

 

Wenn es in der gegebenen Gleichung - 9 statt + 9 hieße, dann ergäbe sich ein Kreis ...

Answer 2

Bringe die Gleichung mit quadratischer Ergänzung auf 'Mittelpunktform'.

 x^2 +y^2 +4x -2y+9=0
x^2 + 4x +y^2  -2y+9=0

x^2 + 4x +4 - 4+ y^2  -2y + 1 -1 +9=0
(x+2)^2 -4 + (y-1)^2 + 8= 0

(x + 2)^2 + (y-1)^2 = - 4

Nun kann man ablesen M(-2,1) und r = Wurzel aus dem, das da rechts steht.

Da da eine negative Zahl steht, hast du aber gar keinen realen Kreis. Entweder hast du falsch abgeschrieben oder du findest meinen Rechenfehler.

Hier ein Beispiel, das fiunktioniert: https://www.mathelounge.de/46328/kreisberechnung-radius-mittelpunkt-bestimmen

Answer 3

\(k(x,y)=x^2 +y^2 +4x -2y-9\)

\(k_x(x,y)=2x  +4\)

\(k_y(x,y)=2y -2\)

\(2x +4=0\)       \(x=-2\)

\(2y -2=0\)       \(y=1\)

Mittelpunkt:  M\((-2|1)\)

Schnitt des Kreises \(x^2 +y^2 +4x -2y=9\)  mit \(y=1\):

\(x^2  +4x=10\)

\(x^2  +4x=10\)

\((x+2)^2=10+4=14  |±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x+2=\sqrt{14}\)

\(x_1=-2+\sqrt{14}\)

2.)

\(x+2=-\sqrt{14}\)

\(x_2=-2-\sqrt{14}\)

\(S_1(-2+\sqrt{14}|1)\)

\(S_2 (-2-\sqrt{14}|1)\)

Durchmesser \( d=|-2-\sqrt{14}|+|-2+\sqrt{14}|=2\sqrt{14}\)

Radius  \( r=\sqrt{14}\)

Comments

Bereits in der ersten Zeile hast du beim Abschreiben einen Fehler gemacht.

Was willst du damit nach 10 Jahren zeigen?

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Bereits in der ersten Zeile hast du beim Abschreiben einen Fehler gemacht.

Nein, denn:

\(x^2+4x +4+y^2  -2y+1=-9+4+1\)

\((x+2)^2+(y-1)^2=-9+4+1=-4\)

Der entstehende Radius ist  ∉ ℝ

Ich gehe davon aus, dass es sich um einen Tippfehler des FS handelt.

Was willst du damit nach 10 Jahren zeigen?

Ich will damit einen alternativen Lösungsweg aufzeigen.

Answer 4

Ich gehe wie Moliets davon aus, dass der Fragesteller einen Tippfehler gemacht hat und es in der Gleichung evtl. -9 lauten sollte. Weiterhin will ich hier nochmals deutlich machen, dass das in der Schule gelernte Standardverfahren extrem einfach und schnell ist.

x^2 + y^2 + 4·x - 2·y - 9 = 0   | + 9

x^2 + 4·x + y^2 - 2·y = 9   | quadratische Ergänzung

x^2 + 4·x + 4 + y^2 - 2·y + 1 = 9 + 4 + 1   | binomische Formel

(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = √14²

Jetzt kann man Mittelpunkt (-2 | 1) und Radius √14, des Kreises ablesen.

Comments

Weiterhin will ich hier nochmals deutlich machen, dass das in der Schule gelernte Standardverfahren extrem einfach und schnell ist.

Was ja bereits vor 10 Jahren schon zweimal vorgeführt wurde. Warum man das nun noch ein drittes Mal machen muss, erschließt sich mir nicht. Und auch damals wurde schon auf den möglichen Tippfehler hingewiesen.

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Genau. Aber bei anderen kritisch hinterfragen, was sie damit nach 10 Jahren sagen wollen...