Drei Variablen, Zahl 3 auf der anderen Seite, komische Ungleichung => Alles Indikatoren für AM-GM. Ich hab die drei hier natürlich provoziert, aber da kommt man vielleicht noch drauf.
Es gilt ja: \(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\geq \sqrt[3]{x_1x_2x_3} \Leftrightarrow x_1+x_2+x_3\geq 3\sqrt[3]{x_1x_2x_3}\)
Setz einfach \(x_1=\frac{c}{a}\), \(x_2=\frac{a}{b+c}\) und \(x_3=\frac{b+c}{c}\). Der Clou ist nämlich, dass \(x_1x_2x_3=1\) ist, probier's mal aus. Multipliziere die drei Summanden nach der Trick-Eins rechts miteinander, das hebt sich alles zu 1 auf.