Zeige, dass für alle a,b,c>0 gilt, dass c/a+a/(b+c)+b/c >= 2

Question

Zeige, dass für alle $a, b, c \in \mathbb{R}_{>0}^{+}: \frac{c}{a}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c} \geq 2$ gilt

Problem/Ansatz:

Ich weiß einfach nicht, wie man bei so etwas vorgeht bzw. wie man so etwas beweist.

Comments

Die 3 in der Überschrift ist falsch, wie die Probe mit a=b=c=1 beweist.

In der Ungleichung steht sicher die 2 aus dem Text unter der Überschrift.

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Korrigiert       .

Answer 1

Hallo,

addiere auf beiden Seiten eine "Trick-Eins" $\frac{c}{c}=1$, dann hast du:$$\frac{c}{a}+\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{c}\geq 3$$ Und dann kannst du die AM-GM-Ungleichung anwenden.

Comments

Ok hört sich schon mal gut an der Trick ^^

Wie genau die AM-GM-Ungleichung?

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Drei Variablen, Zahl 3 auf der anderen Seite, komische Ungleichung => Alles Indikatoren für AM-GM. Ich hab die drei hier natürlich provoziert, aber da kommt man vielleicht noch drauf.

Es gilt ja: $\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\geq \sqrt[3]{x_1x_2x_3} \Leftrightarrow x_1+x_2+x_3\geq 3\sqrt[3]{x_1x_2x_3}$

Setz einfach $x_1=\frac{c}{a}$, $x_2=\frac{a}{b+c}$ und $x_3=\frac{b+c}{c}$. Der Clou ist nämlich, dass $x_1x_2x_3=1$ ist, probier's mal aus. Multipliziere die drei Summanden nach der Trick-Eins rechts miteinander, das hebt sich alles zu 1 auf.

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Ist 1 nicht kleiner als 3?

Der Term soll doch größer gleich 3 sein.

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$x_1+x_2+x_3\geq 3\underbrace{\sqrt[3]{x_1x_2x_3}}_{=1}$

Also $3\cdot 1$