Differenzierbarkeit von Funktionen mit Normen zeigen

Question

Aufgabe:

Differenzierbarkeit von Funktionen mit Normen zeigen

Problem/Ansatz:

Sei R>0 und DR:{ x Element R^n : ||x|| < R}. sowie f: DR -> R definiert durch

f(x): -(1+||x||)e^(-||x||) für alle x Element DR.

Zeigen Sie , dass f in (0,0,0) differenzierbar ist.

Mein Ansatz:

Untersuche Grenzwert ||h|| ->0 (so macht man das doch, oder?) von

|| f(h)-f(0)|| * 1/||h|| = || -(1+||x||)e^(-||x||) *1 || * 1/||h|| .

aber da komm ich jetzt nicht mehr weiter , kann mir jemand helfen?

Comments

war leider Quatsch

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1. Ist die Funktion richtig angeschrieben? Das Minus am Anfang ist doch ziemlich witzlos?

2. Deine Vermutung ist, dass die Ableitung 0 ist oder?

3. Forme f(h)-f(0) richtig um.

4. Beachte, dass der abzuschätzende Ausdruck nur von \(\|h\|\) abhängt, die Abschätzung läuft also auf eine einfache Grenzwertbetrachtung in \(\mathbb{R}\) hinaus.