Aloha :)
Damit die Funktion bei \(x=-1\) stetig ist, müssen links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich dem Funktionswert an der Stelle \(x=-1\) sein:$$\lim\limits_{x\nearrow-1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow-1}\left(\frac1x\right)=\frac{1}{-1}=-1$$$$\lim\limits_{x\searrow-1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow-1}\left(ax+b\right)=a\cdot(-1)+b=-a+b$$Da beide Grenzwerte gleich sein sollen, muss gelten:\(\quad -a+b=-1\implies\pink{b=a-1}\)
Bei \(x=2\) müssen links- und rechtsseitiger Grenzwert ebenfalls gleich dem Funktionswert an der Stelle \(x=2\) sein:$$\lim\limits_{x\nearrow2}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}\left(ax+b\right)=a\cdot2+b=2a+\pink{\underbrace{a-1}_{=b}}=3a-1$$$$\lim\limits_{x\searrow2}f(x)=\lim\limits_{x\searrow2}\ln(x)=\ln(2)$$Da beide Grenzwerte gleich sein sollen, muss gelten:\(\;3a-1=\ln(2)\implies\red{a=\frac{\ln(2)+1}{3}}\)
Die gesuchten Werte sind also:$$\red{a=\frac{\ln(2)+1}{3}}\approx0,5644\quad;\quad \pink{b=a-1=\frac{\ln(2)-2}{3}}\approx-0,4356$$
~plot~ (1/x)*(x<=-1) ; (0,5644*x-0,4356)*(x>-1)*(x<2) ; ln(x)*(x>=2) ; {-1|-1} ; {2|ln(2)} ; [[-4|5|-1,5|1,5]] ~plot~
