Riemann-Summe und bestimmtes Integral

Question

Aufgabe:

Tachchen,

Es soll das folgende Integral mithilfe der Riemann-Summe gelöst werden:     "S" steht hier für das Integralzeichen

1

S dx x²                                   Integralgrenzen sind 0 und 1

0

Es soll nun folgendes gegen 1/3 konvergieren:

n

∑ j² =( n*(n+1)*(2*n+1) ) / 6     Im Skript steht nun: " Benutzen Sie diese Formel für die Summe der                                                                                     ersten n Quadratzahlen "

j=1

Inwiefern bezieht sich diese Summe jetzt auf das gewünschte Integral?

Stehe momentan echt aufm Schlauch...

LG

Problem/Ansatz:

Comments

Danke. Viellicht hilft das auch weiter:

              n

lim n->00 ∑ f(xj) *( xj+1 -xj ) => lim n -> 00 ∑ j²/(n+1)²   *( j+1 - j) /( n + 1 )

            j = 0

= 1/( n +1 ) lim n->00 ∑(n(n+1)*2n+1) / ( 6*(n+1)²) = lim n -> 00 (n* (2n+1))/(6*(n+1)²

=> Der letzte Term läuft für große n gegen 1/3

Answer 1

Hallo

gesucht \( \int\limits_{0}^{1} x^2 dx\)

du teilst das Intervall 0 bis 1 in n Teile, Die Funktionswerte für die Untersumme  mal Länge der Stufe ist dann: 1/n*(0^2 +1^2/n^2+2^2/n^2+....+(n-1)^2/n^2)

entsprechend für die Obersumme,  wenn du jetzt noch 1/n^2 ausklammerst bleibt \( \sum\limits_{j=0}^{n-1}  j^2 \)