Berechnen Sie das Integral mit der Riemann-Summe

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral
mit Hilfe der Riemannschen Summe a > 0

\( \int\limits_{0}^{a} \)

Problem/Ansatz:

Ich komme mit der Aufgabe nicht zurecht habe nur die Stützstelle a/n *k und eine Frage zur Stützstelle ist die Immer a/n*k und falls nicht woher weiß ich dann die richtige Stützstelle?

\( \frac{a}{b} \)

Ansatz:

f_k = (f_xk) = e^x_k

_{Davon dann die Summe von N= 0 bis n-1 \( \frac{a}{n} \) * (\( \frac{a}{n} \) * e}^x)

Comments

Als erstes solltes Du mal richtig hinschreiben, welches Integral berechnet werden soll.

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Habe ich ganz oben

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Also \( \int_0^a \) Was soll das?

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oh ups, sehe es jetzt tut mir leid von e^x

Answer 1

Es geht wohl um $$\sum \limits_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n}\cdot e^{\frac{a}{n}\cdot k}$$

Das wäre die Untersumme für e^x über [0;a]. Forme um zu

$$\sum \limits_{k=0}^{n-1} \frac{a}{n}\cdot (e^{\frac{a}{n}}) ^k$$$$\frac{a}{n}\cdot\sum \limits_{k=0}^{n-1}  (e^{\frac{a}{n}}) ^k$$

Und du hast eine geometrische Reihe mit q=e^(a/n)  und das gibt

$$\frac{a}{n} \cdot \frac{{(e^{\frac{a}{n}})}^n-1}{e^{\frac{a}{n}}-1}=\frac{a}{n} \cdot \frac{{e^{a}}-1}{e^{\frac{a}{n}}-1}$$

Jetzt brauchst du noch den Grenzwert für n gegen unendlich. #

Betrachte dazu erst mal nur die Nenner (im Zähler ist ja kein n), also

$$n \cdot ({e^{\frac{a}{n}}-1}) = \frac {e^{\frac{a}{n}}-1}{\frac{1}{n}}$$

Nimm einfach n gegen unendlich mit n∈ℝ, dann kannst du de Hospital anwenden und hast zu betrachten den Grenzwert von $$ \frac {-\frac{a}{n^2} \cdot e^{\frac{a}{n}}}{\frac{-1}{n^2}}$$

und du siehst: Der Grenzwert ist a. Das jetzt wieder oben ( bei # ) eingesetzt gibt als Ergebnis den gewünschten Wert e^a - 1.

Comments

Ich wollte es ganz anders ausprobieren, glaube mein Gedanke war falsch

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Jetzt musst Du noch zeigen, dass $$ \frac{a}{n}\cdot\sum \limits_{k=0}^{n-1}  (e^{\frac{a}{n}}) ^k $$ gegen \( e^a-1 \) konvergiert.

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Ich habe es anders versucht war mein Ansatz falsch?

\( \sum\limits_{k=0}^{\ n-1}{\frac{a}{n}} \) * (\( \frac{a}{n} \) *e^x)

⁽\( \frac{a}{n} \))² \( \sum\limits_{k=0}^{\ n-1}{e} \)

und dann wird doch das Summenzeichen ersetzt durch die Riemann Summe aber wie gehts dann weiter? oder ist das ein komplett falscher Ansatz

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Ja der Ansatz ist falsch. Bei einer Zelrlegung mit einer Schrittweite von \( h = \frac{a}{n} \) folgt für das Riemann Integral als Untersumme

$$ \int_0^a e^x dx \approx \sum_{k=0}^{n-1}\frac{a}{n} e^{\frac{a}{n}k}$$ und nicht das, was Du da hin geschrieben hast.

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Ich habe davor die Aufgaben immer so gelöst, dass das Summenzeichen durch die Riemannsumme ersetzt wurde und damit kam ich bei beiden aufgaben zum richtigen Ergebnis, jedoch blicke ich da gerade gar nicht durch.

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Ich versteh nicht was Du meinst. Die Summe auf der rechten Seite ist die Riemannsumme. Genauer die Untersumme. Das ganze geht aber auch mit der Obersumme.

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würde gerne ein Bild von meiner Mitschrift hochladen, jedoch weiß ich nicht, ob es erlaubt ist, so könnte ich es besser erklären und evt. verstehen sie mich dann besser

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Keine Ahnung, mach es einfach. Ist doch Deinje Mitschrift.