Hilfe bei der Ermittlung der Polynomfunktion f 3. Grades

Question

Aufgabe:

Ich muss die Gleichung einer Polynomfunktion f 3. Grades bestimmen. Zudem sollten folgende Bedingungen erfüllt sein:

1. Sie schneidet g(x) = x2 - 4x + 4 bei x=0

2. Sie berührt g(x) bei x = 2

3. f und g schliessen im 1. Quadranten eine Fläche vom Inhalt A = 4 ein.

Die Lösung wäre f(x) = 3x³ - 11x² + 8x + 4

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass ich mehrere Gleichungen aufstellen muss und konnte ohne Probleme den Wert 4 ermitteln, aber irgendwo mache ich einen Fehler und bekomme einfach nicht die richtige Gleichung. Kann mir bitte Jemand helfen. Danke im Voraus.

Answer 1

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

1. Sie schneidet g(x) = x^2 - 4x + 4 bei x=0, also f(0)=g(0) ==>   d=4

 ==> f(x)=ax^3+bx^2+cx+4

2. Sie berührt g(x) bei x = 2  also g(2)=f(2) und g'(2)=f'(2)

 ==>  f(2)=0 und f'(2)=0

==>   0 = 8a + 4b +2c+4 ==>   8a + 4b +2c   =  -4

und    0 =  12a + 4b + c     ==>   c = - 12a -  4b

Also           4a + b = 1 bzw. b = 1-4a und damit c = 4a-4   #

3. f und g schliessen im 1. Quadranten eine Fläche vom Inhalt A = 4 ein.

Die Graphen schneiden sich bei (0;4) und bei (2;0)

Also bekommt man die Fläche über das Integral von

0 bis 2 über die Differenz f-g bzw. g-f.

\(   \int \limits_0^2 (f-g)dx = 4  \)

Nun ist ja f-g = ax^3 -4ax^2 +4ax

also gilt  \(  \int \limits_0^2 (f-g)dx = 4  \)

<=>  \(  \int \limits_0^2 (ax^3 -4ax^2 +4ax)dx = 4  \)

<=>  \(  [  \frac{a}{4}x^4 -\frac{4a}{3}x^3 +2ax^2 ]_0^4 = 4  \)

<=> \(    \frac{4a}{3} = 4  \)     <=>     a=3

Und # liefert den Rest.

Comments

Noch zwei Bemerkungen dazu:

Da \(f'(2)=g'(2)=0\) ist, ist \(x_{1,2}=2\) eine doppelte Nullstelle. Folglich lässt sich \(f(x)\) sofort schreiben als$$f(x)= a(x-2)^2(x-x_3)$$mit \(x_3\) als dritte Nullstelle.

Und aus \(f(0)=4\) folgt dann sofort \(x_3= -\frac 1a\).$$\implies f(x)=(x-2)^2(ax+1)=ax^3-4ax^2+4ax + x^2-4x+4$$

Weiter muss es vollständig heißen: $$\left|\int_0^2 (f-g)\,\text dx\right| = 4$$bzw.:$$\int_0^2 (f-g)\,\text dx = \pm4$$was zu einer zweiten Lösung \(a=-3\) führt. Nur diese entfällt wieder, da in der Aufgabenstellung die Differenzfläche auf den ersten Quadranten eingeschränkt ist.

schiebe den Punkt \(a=-3\) nach oben auf \(a=+3\), dann siehst Du beide Flächen, die von den Funktionen eingeschlosen werden.