Wie beweise ich, dass die Verknüpfungen "+" und "." kommutativ sind?

Question

Hallo ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Folgendes ist gegeben: $$\mathbb{R}^\mathbb{R} =\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$$  f ist Funktion.

Wie beweise ich, dass die Verknüpfungen "+" und "." kommutativ sind?

Danke im Voraus!

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Folgendes ist gegeben: $$\mathbb{R}^\mathbb{R} =\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$$f ist Funktion.
Wie beweise ich, dass die Verknüpfungen "+" und "." kommutativ sind?

Wenn das alles ist, was gegeben ist: Vergiss es!

Answer 1

Man verwendet die Definition von "+" und "." um zu zeigen, dass

        (f + g)(x) = (g + f)(x)

und

      (f . g)(x) = (g . f)(x)

für alle f, g ∈ ℝ^ℝ und alle x ∈ ℝ ist.

Comments

Könntest du mir das an einem Beispiel zeigen?

LG

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Behauptung. Sei \(\oplus : \mathbb{R}^\mathbb{R}\times \mathbb{R}^\mathbb{R} \to \mathbb{R}^\mathbb{R}\) mit

        \((f\oplus g)(x) \coloneqq f(x) + g(x) - f(x)\cdot g(x)\)

für alle \(f,g\in \mathbb{R}^\mathbb{R}\) und alle \(x\in\mathbb{R}\).

Dann ist \(\oplus\) kommutativ.

Beweis. Es gilt

        \(\begin{aligned}&(f\oplus g)(x)\\ =\,&f(x) + g(x) - f(x)\cdot g(x)\\ =\,&g(x)+f(x) - g(x)f(x)\\ =\,&(g\oplus f)(x)\end{aligned}\).