Allgemeine Lösung der Differentialgleichung bestimmen

Question

Aufgabe:

λ"" (t)-8λ" (t)-9λ(t)=18t-9

Problem/Ansatz:

Also die Lambdas kann ich bestimmen. Die wären λ1=3, λ2=-3, λ3=i, λ4=-i   (Da mit Substitution u1=9 und u2=-1)

Die komplexen Zahlen bereiten mir Probleme. Wie bestimme ich die allgemeine Lösung der Differentialgleichung?

Answer 1

Dann ist

        \(\lambda_\mathrm{abcd}\left(x\right)\coloneqq a\mathrm{e}^{3x}+b\mathrm{e}^{-3x}+c\mathrm{e}^{ix}+d\mathrm{e}^{-ix}\)

für alle \(a,b,c,d\in \mathbb{C}\) Lösung der homogenen Gleichung.

Du brauchst  jetzt nur noch eine einzige Lösung der DGL. Die ist offensichtlich

        \(\lambda_\mathrm{P}(x) = -2x + 1\)

wegen \(\lambda'''''_\mathrm{P} = \lambda''_\mathrm{P} = 0\).

Lösungsmenge ist dann

        \(\left\{\lambda_\mathrm{abcd} + \lambda_\mathrm{P} |\ a,b,c,d\in\mathbb{C}\right\}\).

Answer 2

Hallo,

Ich habe für λ  y geschrieben und für t x (aus Gewohnheitsgründen :)

Oft wird die homogene Lösung in reeller Form angegeben:

λ₃=i, λ₄=-i

allgemein gilt:

\( \gamma_{1}=\alpha+i \beta, \gamma_{2}=\alpha-i \beta \)

 \( y=e^{\alpha x}\left(c_{1} \cos (\beta x)+c_{2} \sin (\beta x)\right) \)

hier ist α =0

--->

y=C₃ cos(x) +C₄ sin(x)

insgesamt:

yh=  C₁ e^(3x) +C₂ e^(-3x) +C₃ cos(x) +C₄ sin(x)

Wie bestimme ich die allgemeine Lösung der Differentialgleichung?

y=y_h+y_p

_{Ansatz partikuläre Lösung:}

_{yp= A+B*t}

_yp'=B

_{yp'' =yp'''=yp''''=0}

_{------->Einsetzen yp und deren Ableitungen in die DGL:}

_{0 -8*0 -9(A+Bt) = 18t-9}

 _{-9(A+Bt) = 18t-9}

-9A -9Bt= 18t-9

--------->Koeffizientenvergleich:

t^0: -9A =-9 --->A=1

t^1: -9B =18 -->B=-2

yp= A+B*t =1 -2t

y=yh+yp

y= C₁ e^(3t) +C₂ e^(-3t) +C₃ cos(t) +C₄ sin(t) +1 -2t

Comments

Vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort. Ich habe es verstanden;)