Wie untersucht man, ob das uneigentlichr Integral sin(x)/x von 0 bis unendlich existiert?

Question

Aufgabe:

Wie untersucht man, ob das uneigentlichr Integral sin(x)/x von 0 bis unendlich existiert?

Problem/Ansatz:

Oft wird das irgendwie mit abschätzungen gemacht mit 1/x oder 1/x^2 wie sieht man das? Manchmaal muss man irgendwie auch splitten

Comments

\(f: x\mapsto \frac{\sin(x)}{x}\) hat an der Stelle \(x=0\) eine hebbare Singularität und kann durch \(f(0):=1\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig fortgesetzt werden. Du hast bei der Abschätzung \(\sin(x)\leq 1\) das Problem, dass \(\frac{1}{x}\) nicht bei Null in der selben Weise fortgesetzt werden kann und das Integral nicht exisitiert.

Man könnte den Dirichlet-Test verwenden.

An analogous statement for convergence of improper integrals is proven using integration by parts. If the integral of a function f is uniformly bounded over all intervals, and g is a monotonically decreasing non-negative function, then the integral of fg is a convergent improper integral.

Wenn du weißt, dass \(\frac{\sin(x)}{x}\xrightarrow{x\to \infty} 0\), dann kann man (evtl. heuristischer) auch so argumentieren:

Da der Sinus zwischen positiven und negativen Werten oszilliert, können wir das Integral in Abschnitte unterteilen, in denen die Funktion entweder nichtnegativ oder negativ ist. Wenn das Integral existiert, dann ist es gleich der Reihe dieser Teilabschnitte. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe (die dem Integral entspricht, falls es existiert) - die Terme gehen monoton gegen Null, da der Sinus begrenzt ist und \(1/x\) monoton gegen Null geht.

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Ich kenne dieses Integral und die Aufgabe. Ich meine, dass man auch mit partieller Integration arbeiten kann. Überführe das Integral erstmal in ein eigentliches von 0 bis variabler Grenze a und versuch mal partiell zu integireren. Vielleicht lässt sich mit dem Überbleibsel-Integral besser arbeiten.

Answer 1

Weißt du, wie die Funktion f(x) = sin(x) / x aussieht?

~plot~ sin(x)/x;[[0|100|-1|1]] ~plot~

Stell dir jetzt die positiven Flächeninhalte über der x-Achse und die negativen Flächeninhalte unter der x-Achse als eine alternierende Nullfolge vor. Dann konvergiert die zugehörige Reihe oder?

Wolframalpha weiß sogar, wie die Stammfunktion in etwa aussieht.

Und Wolframalpha kennt auch zufällig den wert gegen den das ganze konvergiert.