Explizite Folge aufstellen (Analysis)

Question

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\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{512}+\ldots \)

Wie stelle hier die explizite Formel auf, ich weiß die Folge alternierend mit 1/2 und 1/4 multipliziert wird.

Answer 1

a0 = 1/1 → 1=2^0

a1 = 1/2 → 2=2^1

a2 = 1/8 → 8=2^3

a3 = 1/16 → 16=2^4

Wir brauchen also eine Formel für folgende Zuordnung.

Index k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Exponent	0	1	3	4	6	7	9	10	12

Für gerade Indizes k ist es 1,5k.

Für ungerade Werte von k ist es 1,5(k-1)+1=1,5k-0,5.

Nun brauchst du nur noch einen Term, der für gerade Werte Null und für ungerade Werte 0,5 ergibt.

0,25 •(1-(-1)^{k})

Also a_k = 2^{-1.5k+0.25(1-(-1)^k))

Answer 2

ich weiß die Folge alternierend mit 1/2 und 1/4 multipliziert wird.

Also wird sie abwechseln mit \( \frac{3}{8} +\frac{1}{8}\) und \( \frac{3}{8} -\frac{1}{8}\) multipliziert.

Answer 3

\(   \sum \limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2^{3k}} + \frac{1}{2^{3k+1}} ) \)

Comments

Brüche vergessen?

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Oha, das korrigiere ich.

Answer 4

\(=(1+1/2)+(1/8+1/16)+(1/64+1/128)+...=\)

\(=3/2+3/16+3/128+ ...=\)

\(=3/2(1+1/8+1/64+ ...)=3/2\sum_{n=0}^{\infty}(1/8)^n= ...\)