Wassertropfen und Integration

Question

Kann mir jemand bei der b) helfen?

Ein Wassertropfen der Höhe h und Radius r kann durch einen Kegel modeliert werden,
der auf einer Halbkugel sitzt.
(a) Bestimmen Sie die Höhe eines Wassertropfens mit Radius r = 2 mm und Volumen
V =8πmm3.
(b) Beschreiben Sie einen halben Wassertropfen mit Höhe h und Radius r durch eine
Funktion f : [0, h] × [−r, r] → R. Berechnen Sie dessen Volumen per Intergration.

Comments

Physikalisch ist das falsch, da fallende Wassertropfen fast kugelförmig sind. Mal wieder ein Beipiel für einen herbeigedichteten Realitätsbezug.

;-)

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(b) Beschreiben Sie einen halben Wassertropfen mit Höhe h und Radius r durch eine
Funktion f : [0, h] × [−r, r] → R.

Es ist schon schlimm, wie viele fachfremde Quereinsteiger sich erfolglos an präziser und widerspruchsfreier Aufgabenformulierung versuchen...

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So viele Fragen.

Warum ein halber Tropfen?

Warum soll ein Rechteck Definitionsmenge sein?

Warum wird nicht einfach um die Symmetrieachse rotiert?

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Wie soll der Wassertropfen denn halbiert werden? Zerschnitten senkrecht oder waagrecht, oder schräg, oder geschrumpft?

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Vermutlich so, wie der Coach es vorschlägt.

Answer 1

Mit dem Radius r=2 kannst du das Volumen der unteren Halbkugel berechnen.

Wenn du dieses Volumen von 8π mm³ subtrahierst, hast du das Kegelvolumen.

Aus dem Kegelvolumen und dem Kegelradius kannst du durch Umstellen der Kegel-Volumenformel die Kegelhöhe bestimmen.

Wenn du zu dieser Kegelhöhe noch den Radius addierst, hast du die Höhe des Tropfens.

Zu b)

Wie die Funktion aussieht hängt davon ab, wie du die Achsen platzierst und wo dein gewählter Koordinatenursprung ist.

Answer 2

Ein Wassertropfen der Höhe h und Radius r kann durch einen Kegel modeliert werden, der auf einer Halbkugel sitzt.

a) Bestimmen Sie die Höhe eines Wassertropfens mit Radius r = 2 mm und Volumen V = 8π mm³.

V = 1/2·4/3·pi·r^3 + 1/3·pi·r^2·(h - r) = 1/3·pi·r^2·(h + r)

h = (3·V - pi·r^3)/(pi·r^2)

Nun einsetzen und ausrechnen

h = (3·(8·pi) - pi·2^3)/(pi·2^2) = 4 mm

b) Beschreiben Sie einen halben Wassertropfen mit Höhe h und Radius r durch eine
Funktion f : [0, h] × [−r, r] → R. Berechnen Sie dessen Volumen per Intergration.

Abweichend von der Aufgabenstellung hätte ich den halben Regentropfen mit einer Funktion wie folgt beschrieben:

Davon hätte ich dann das Rotationsintegral berechnet.