Lineare (Un)abhängigkeit äquivalent?

Question

Aufgabe:

Vor: f: V→W lineare Abb, v₁,…,v_r ∈V

1) Behpt: v1,…,vr linear abhängig ⇒ f(v1),…,f(vr)∈W linear abhängig

2) Behpt: f(v1),…,f(vr)∈W linear unabhängig ⇒v1,…,vr linear unabhängig

Problem/Ansatz:

Die Richtungen ⇒ habe ich verstanden, nun geht dies auch in diese ⇐ Richtung? Also welche Bedingung benötige ich noch, damit die Rückrichtung geht bzw. was muss sich ändern? (Für jeweils die erste und zweite Behauptung)

Ich habe bald eine Prüfung und ich finde im Internet zu dieser Frage nichts, ich wäre euch dankbar für eine Antwort.

Answer 1

2) ist die Kontraposition von 1).
Also sind 1) und 2) äquivalent.

Comments

Ja genau, aber wann gilt dies ohne Kontraposition?

Also wann gilt:

2) Behpt: f(v1),…,f(vr)∈W linear unabhängig    ⇐    v1,…,vr linear unabhängig

ich vermute, dass f zusätzlich noch Injektionen sein muss.

Aber wie ist dies für Bhpt 1?

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Injektivität auf  \(Span(v_1,\cdots,v_r)\) muss man dann voraussetzen.

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Also wenn ich für die erste und zweite Behauptung jeweils noch voraussetzte, dass f injektiv ist, dann stimmen jeweils die Rückrichtungen (also⇐)?

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Ja. Aber schau genau hin: es geht nicht um Injektivität
schlechthin, sondern um die Injektivität der Restriktion
von f auf den von \(v_1,\cdots,v_r\) erzeugten Unterraum.

Ist natürlich f auf dem ganzen Raum injektiv, so gilt erst recht

die Äquivalenz.

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Das sagt mir jetzt irgendwie nichts… was kann ich mir darunter vorstellen?

Danke für deine Mühe.

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Die Bedingung "injektiv" ist hinreichend dafür,

dass beide Seiten von 1) äquivalent sind.

Aber "injektivi" ist nur dann für die Äquivalenz

auch notwendig, wenn sich das auf den von \(v1,\cdots,v_r\)

erzeugten Unterraum bezieht.