Bestimmen der Eigenwerte

Question

Aufgabe: Bestimmen der Eigenwerte

1	-3	3
3	-5	3
6	-6	4

Problem/Ansatz: Komme mittels Sarrus bis zu (Lamda=x)

-x³+12x+16=0

was wäre der nächste um auf die Eigenwerte zu kommen?

Answer 1

Hallo,

das absolute Glied betrachten +16

Teiler sind ±1 ,±2 ,±4 ±8 ±16

dann eine Polynomdivision tätigen.( mit -2 oder 4)

Comments

gibt es noch eine andere alternative oder komme ich nur mit der Polynomdivision darauf?

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Ja mittels Horner Schema , falls behandelt

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Das Horner Schema ist einfacher als die Polynomdivision und ist auch kürzer zum schreiben.

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hab bei einem Online Rechner folgendes gefunden leider ohne Erklärung

x3+12x+16=0

= -(x-4)*(x²+4x+4)

wodurch -(x-4) = mein x₁ von =4

und x₂₃ durch pq formel -2 ergibt.

welches verfahren wurde hier angewendet ?

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Das einfachste ist erkennen der Nullstelle von x = 4 und dann Horner Schema oder Polynomdivision

(- x^3 + 12·x + 16) = - (x^3 - 12·x - 16)

(x^3 - 12·x - 16) : (x - 4) = x^2 + 4·x + 4

Jetzt erkennt man bereits eine binomische Formel

x^2 + 4·x + 4 = (x + 2)^2

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eine Möglichkeit, Polynomdivision

( - x^3          + 12x + 16) : (x - 4)  =  -x^2 - 4x - 4 
- x^3  + 4x^2           
———————————————————————————
      - 4x^2  + 12x + 16
      - 4x^2  + 16x    
      ———————————————————
                - 4x + 16
                - 4x + 16
                ——————————
                        0

dann:

-x^2 - 4x - 4=0

x^2 + 4x + 4=0

x2,3= -2±√(4-4)

x2,3 = -2

insgesamt

-2 , -2 ,4

Answer 2

Hallo Tanri,

Willkommen in der Mathelounge!

Komme mittels Sarrus bis zu (Lamda=x)
-x3+12x+16=0
was wäre der nächste um auf die Eigenwerte zu kommen?

dies ist die charakteristische Gleichung und hier sind die Nullstellen zu bestimmen. Das sind$$x_{1,2}=-2, \quad x_3=4$$und das sind dann auch die Eigenwerte

Gruß Werner

Answer 3

Suche die Nullstellen des Polynoms.

Wenn der Aufgabensteller freundlich ist, ist

mindestens eine Nullstelle ein (ganzer) Teiler \(x_1\) von 16,

also einer der Teiler -16,-8,-4,-2,-1,1,2,4,8,16.

Dann mache Polynomdivision durch \((x-x_1)\).

Noch eine Bemerkung:

\(A+2I_3\) hat den Rang 1, daher ist \(-2\) ein mindestens

2-facher Eigenwert, Dir Spur von \(A\) ist die Summe

der Eigenwerte, also \((-2)+(-2)+x_3=1-5+4=0\), also \(x_3=4\).