Eigenwerte bestimmen. Problem bei Nullstellenbestimmung von p(k)= -k^3 + 18k + 8

Question

-3	2	1
2	0	2
1	2	3

Ich muss die eigenwerte bestimmen. Unter verwendung des charackterisches polynom bekomme ich das:

Wie soll ich Nullstellen finden mit dieser lambda+4 im Nenner?

Comments

Wie soll ich Nullstellen finden mit dieser lambda+4 im Nenner?

Wenn λ=-4 eine Nullstelle ist, dann bleibt da doch kein Bruch am Ende!

Da hat sich ein Fehler eingeschlichren

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Das bekommt man mit Polynomdivision. Man rattet zuerst eine Nulstelle - in meiner fall -4

Dann teile ich die kubische Gleichung durch (x+4) und bekomme das.

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hanuk,

wie wäre es mit vietas substituition?

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und bekomme das.

Das ist falsch. Wiederhole die Polynomdivision!

Heraus kommt -λ^2+4λ+2

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

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Wenn man nicht raten, sondern rechnen will, dann verwendet man Vietas Substitution:$$\lambda^3-18\lambda-8=0$$ Wir substituieren \(\lambda=\gamma-\frac{p}{3\gamma}\) und erhalten folgende Form:$$\gamma^3-\frac{p^3}{27\gamma^3}-q=0  \quad |\cdot \gamma^3$$$$\gamma^6-q\gamma^3-\frac{1}{27}p^3=0 $$ Durch die zweite Subsititution von \(\gamma^3=\alpha\) erhält man:$$\alpha^2-q\alpha-\frac{1}{27}p^3$$ Bei der Funktion \(\lambda^3-18\lambda-8=0\) sind \(p=-18\) und \(q=-8\). Setzen wir das ein erhalten wir:$$\alpha^2-(-8)\alpha-\frac{1}{27}(-18)^3$$

Mit der PQ-Formel lösen und zwei Mal rücksubstituieren!

Answer 1

(-k^3 + 0k^2 + 18k + 8 ) : (k + 4) = -k^2 - .... 

-(-k^2 + 4k^2)

-------------------

         -4k^2 + 18k

usw.

hier hattest du einen Fehler. Ergänze am besten von Anfang an 0k^2 , wenn du von Hand dividieren musst. 

Answer 2

Die Eigenwerte:

Lösen kannst Du das dann so:

-(λ+4)( λ^2-4λ -2)=0

->Satz vom Nullprodukt , usw

Comments

Wie hast du zur -(λ+4)( λ2-4λ -2)=0  gekommt?

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Du betrachtest das absolute Glied 8. Durch was Du teilst , mußt Du raten. Es kann nur sein ±1 ,±2 ,± 4 ±8 Da in der Schule das Ganze relativ einfach gehalten ist, findest Du -4  als eine Nullstelle.Du machst eine Polynomdivision durch 4 und findest den anderen Term.

Answer 3

Gesucht ist das charakteristische Polynom der Matrix:$$A=\begin{pmatrix}-3&2&1 \\ 2&0&2 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}$$ Nach der Definition gilt \(\chi_A(\lambda)=det(\lambda E-A\)). Wenn wir das auf dein Beispiel übertragen erhalte ich:$$\chi_A(\lambda)=det\left(\left[\begin{pmatrix}\lambda &0 &0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}\right]-\left[\begin{pmatrix}-3&2&1 \\ 2&0&2 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}\right]\right)$$$$\chi_A(\lambda)=\begin{pmatrix}3+\lambda&-2&-1 \\ -2&\lambda+0&-2 \\ -1&-2&\lambda-3 \end{pmatrix}$$ Nun einfach ausmultiplizieren mit der Regel von Sarrus:$$\chi_A(\lambda)= \begin{vmatrix}3+\lambda&-2&-1 \\ -2&\lambda+0&-2 \\ -1&-2&\lambda-3 \end{vmatrix} $$ Du mutliplizierst das nun nach folgendem Muster auf:$$\begin{aligned} |A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} & = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h \\ & \quad -g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b \end{aligned}$$Nach dem ausmulitplizieren erhalte ich \(\lambda^3-18\lambda-8=0\). Das kannst du z. B. mit den Cardanischen Formeln auflösen, um die Eigenwerte zu erhalten!

Comments

Es kann Fehler beinhalten, das habe ich ganz schön schnell getippt.

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Ok, habs geprüft - wenn du alles richtig machst, dann kommt das richtige Ergebnis raus!